Un triple de conjuntos de números enteros $A,B,C$$|A|=|B|=|C|=n$, se puede calcular el conjunto de $S_{A,B,C} = \{ab+c \mid a \in A, b \in B, c \in C\}$. Estoy interesado en el tamaño mínimo del $S_{A,B,C}$ cuando se toma sobre todos los posibles triples de conjuntos.
Es claro que no puede ser más grande que la de $n^3$ y en el hecho de que uno puede mostrar que el tamaño mínimo es de $\mathcal O(n^2)$. Esto es debido a que $A=B=\{2^i | 0 \le i < n\}$ nos da $2n$ distintos valores de $ab$ y por lo tanto conseguir en la mayoría de $2n^2$ valores distintos una vez que incluyen el conjunto $C$.
Claramente, la respuesta es también, al menos,$n$, ya que uno puede elegir un fijo $a$$b$, y argumentan que la $\{ab+c \mid c \in C\}$ tiene exactamente $n$ elementos.
Sin embargo, no tengo idea más allá de eso.
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¿Cuál es el menor tamaño de establecer $S_{A,B,C}$ se puede conseguir para un conjunto fijo el tamaño de la $n$? Es decir, ¿qué es $\min_{A,B,C} |S_{A,B,C}|$? Es posible conseguir algo más pequeño que $\mathcal O(n^2)$ asintóticamente?
