Generalización de resultados en sistemas dinámicos en $\mathbb{R}^n$ a los resultados en general colectores

Question

Estoy tratando de auto-aprender los sistemas dinámicos, pero estoy teniendo el siguiente problema: la mayoría de los libros, especialmente de los textos introductorios, todos los resultados se dan como resultados acerca de los sistemas dinámicos definidos por la evolución de las funciones de $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n $. ¿En qué grado se puede esperar de estos resultados para generalizar a sistemas dinámicos en los colectores dado por $f: M \rightarrow TM$ y hay algo en particular que debe ser "cuidadoso" acerca de.

Tal vez para hacer la situación un poco más específico, aquí están algunos teoremas he pensado en particular:

1) Smales resultado de que la (onu)estable invariante en el colector de un hiperbólico punto fijo es un inyectiva de inmersión de la (onu)estable el espacio de la tangente.

• Hay una analogía para los colectores? Cómo haría una cosa así trabajar en compacto colectores? Esto implica que hay algunos canónica forma de asignar un subespacio del espacio de la tangente en un inmersos submanifold, este debe exigir extra estructura en el colector. Es evidente de dónde proviene?

2) Sombreado de los lemas

• Para estos es evidente que necesitamos una métrica en el colector. De nuevo, hay una manera obvia de elegir esto? Lo que si tenemos un hamiltoniano del sistema definido por una forma simpléctica, no hay ninguna forma "natural" para definir la longitud, así que ¿cómo debo pensar acerca de estas cosas?

Agradecería cualquier ayuda o tal vez incluso un recurso recomendado que me ayude con estos vergonzosamente preguntas fáciles.

Answer 1

La regla de oro para los resultados de la ergodic teoría es que todo local se comporta como debe de sistemas dinámicos en $\mathbb R^n$- como puede verse por el paso a los gráficos o local como banalizaciones de la tangente de paquete - mientras que el global de los objetos de cuidar más a definir.

1) Smales resultado de que la (onu)estable invariante en el colector de un hiperbólico punto fijo es un inyectiva de inmersión de la (onu)estable el espacio de la tangente.

Para un colector de Riemann, la típica forma de asignar el espacio de la tangente en el colector es el uso de la exponencial mapa, que asigna un vector tangente $v \in T_x M$ la solución para el tiempo-un mapa de la línea geodésica ecuación con condición inicial $(x, v)$. Este mapa tiene la ventaja de mirar muy de cerca isométrica localmente cerca del origen (que corresponde al punto de $x$)$T_x M$.

De hecho, una práctica habitual a la hora de estudiar el comportamiento local a lo largo de una determinada trayectoria $\{ f^n x \}_{n \in \mathbb Z}$ algunos $x \in M$ es considerar la conexión de los mapas

$$ \tilde f_x = \exp_{f x}^{-1} \circ f \circ \exp_x $$ se define en un barrio de la procedencia en $T_x M$.

Por otro lado, $\exp_x : T_x M \to M$ nunca es inyectiva cuando $M$ es compacto. Esto no descarta que $\exp_x$ parametrizes un $W^u$ colector a través de un punto de $x$ (ver, por ejemplo, la inestable colector a través de el origen de Arnold Gato del mapa en el toro), pero ciertamente no es siempre cierto. Estos tipos de consideraciones globales son típicamente más trabajando en un colector.

2) Sombreado de los lemas

A veces hay un 'canónica' elección de la métrica de Riemann dado una forma simpléctica (echa un vistazo a casi estructuras complejas). De lo contrario, una rápida y sucia manera de hacer las cosas es escoger un suave métrica de Riemann de manera arbitraria y sólo la utilizan para definir el sombreado de la propiedad. Esto podría no ser muy satisfactorio desde el punto de vista teórico, pero todo liso métricas de Riemann sobre una suave compacto colector $M$ inducir equivalente métricas (es decir, la igualdad de hasta un multiplicativo constante), por lo tanto, el seguimiento de la propiedad en una métrica es equivalente a la de sombreado de una propiedad en otro.