Estoy leyendo sobre las órbitas de los satélites cercanos a la Tierra y se utiliza una terminología que no estoy seguro de entender:
El Momento monopolar de la Tierra y el Momento cuadrupolar de la Tierra ?
¿Cuáles son algunas explicaciones fáciles de entender de los términos anteriores?
El monopolo (gravitacional) de un sistema es básicamente la cantidad de masa-energía que tiene el sistema.
Un dipolo es una medida de cómo se distribuye la masa lejos de algún centro.
El momento cuadrupolar describe la extensión de la distribución de la masa a lo largo de un eje. El cuadrupolo sería cero para una esfera, pero distinto de cero para una varilla, por ejemplo. También es distinto de cero para la Tierra, porque ésta es un esferoide oblato.
La contribución gravitacional de un cuadrupolo cae más rápido que la de un monopolo. (por eso el momento cuadrupolar de la Tierra es importante para el estudio de los satélites y no realmente para el estudio de la Luna, debido a la $r^{-3}$ dependencia de la contribución al potencial)
Los cuadrupolos y otros momentos de orden superior son importantes en la RG porque el cambio en su distribución puede producir ondas gravitacionales.
Ejemplo:
Consideremos dos casos, en ambos los cuerpos grandes son de masa $M$ y el pequeño de masa $m$ y el pequeño está en la línea de simetría a una distancia $r$ .
Caso 1: Sin momento cuadrupolar. 
La fuerza aquí es una simple: $$\frac{GMm}{r^2}$$ .
Caso 2: Momento cuadrupolar no nulo. (las esferas más grandes están separadas por una cierta distancia $2R$ .) 
La fuerza en este caso es: $$\frac{2GMmr}{(r^2+R^2)^{3/2}}$$
Esto, para los grandes $r$ se puede aproximar a (expansión en serie de dos términos): $$F \sim \frac{2GMm}{r^2}-\frac{3GMmR^2}{r^4}$$
El extraño Aquí el término se debe al momento cuadrupolar del sistema. A medida que se aleja ( $r>>R$ ), la fuerza, $F$ es más o menos: $$F \sim \frac{2GMm}{r^2}$$
Por eso el "efecto del momento cuadrupolar" se cae con la distancia.
Disculpas por los odiosos diagramas de MS Paint.
El potencial debido al momento cuadrupolar cae como $r^{-3}$ . Pero usted ha hablado de la fuerza, que cae como $r^{-4}$ . En su ejemplo, la expansión de dos términos de la fuerza es $\frac{2GMm}{r^2}-\frac{3GMmR^2}{r^4}$ donde el segundo término se debe al momento cuadrupolar.
Oops, sí. Lo arreglaré. Hablé de la fuerza porque estoy tratando de mostrar el efecto de la asimetría en general, no específicamente el potencial.
Los diagramas de Ms Paint son mejores que la ausencia de diagramas, felicitaciones por hacerlos
Imagina tener una distribución masiva $\rho(x,y,z)$ alrededor del origen O y queremos calcular la energía potencial y la fuerza en un determinado punto P del eje z. La energía potencial se puede expresar fácilmente mediante la integral: $$U=-GM\int_{V}\frac{\rho(x,y,z)}{R}dv$$ Sin embargo, esta integral puede ser difícil de calcular y a menudo es más fácil expresar el integrando por una serie, esto se llama expansión multipolar y se puede hacer tanto para la fuerza gravitacional como para la fuerza electrostática.
Debido a la ley de los cosenos, expresamos R en función de $\theta$ , $r'$ y r: $R^2 = r^2 +r'^2 - 2rr'\cos(\theta)$ , ahora podemos simplificar esta integral utilizando esta indentidad y una serie de Taylor: $$\frac{1}{R} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\alpha}} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\alpha+\frac{3}{8}\alpha^2-...\right)$$ donde $\alpha=\left(\frac{r'}{r}\right)^2-\frac{2r'}{r}\cos(\theta)$
La energía potencial se convierte ahora en: $$U=\frac{-GM}{r}\int_{V}\rho dv+\frac{-GM}{r^2}\int_{V}r'\cos(\theta)\rho dv+\frac{-GM}{r^3}\int_{V}r'^2\frac{3\cos^2(\theta)-1}{2}\rho dv +...$$ Como puedes ver, en cada término la potencia de r se hace cada vez más pequeña. A menudo reescribimos esta expresión como $$U=-GM\left(\frac{C_0}{r}+\frac{C_1}{r^2}+\frac{C^2}{r^3}...\right)$$ Donde $C_0$ es el momento monopolar, $C_1$ el momento dipolar, $C_2$ el momento cuadrupolar, etc. Estos pueden ser fácilmente interpretados por lo que me refiero a @Hritik Narayan.
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