La cierta idea intuitiva de "agujeros" todo depende de la definición de la palabra, por supuesto. En una mucho más ingenua idea de 'agujeros', $\mathbb{Q}$ no tiene, como para cualquiera de los dos $p, q \in \mathbb{Q}$ ($p < q$) uno siempre puede encontrar otro $r \in \mathbb{Q}$ tal que $p < r < q$. Por supuesto, es bien sabido que el $\mathbb{Q}$ no es completa, mientras que $\mathbb{R}$ es. En ese sentido, $\mathbb{Q}$ tiene agujeros, mientras que $\mathbb{R}$ no.
Mi pregunta es si hay algún sentido en el que $\mathbb{R}$ tiene agujeros. Sé muy poco acerca de las 'extensiones' de $\mathbb{R}$ (no estoy seguro si ese es el término correcto) como el surrealista o verdadera números, pero hasta donde yo sé, esas no se llenan cualquier 'lagunas' en $\mathbb{R}$, simplemente "añadir más". En otras palabras, me pregunto si hay una propiedad que $\mathbb{R}$ (con su estándar de topología y todo ese tipo de cosas) no tiene, lo que podría ser descrito como $\mathbb{R}$ tener agujeros (en el sentido de que la propiedad).
