Por razones de maldad de mi cuenta, estoy tratando de dar una presentación de una mónada en términos primitivos, suponiendo que sólo la noción de una categoría. Más honestamente, he mirado este post y tienes intrigado por la idea de que, en cierto sentido, una mónada es una monada, simplemente porque sus Kleisli categoría es una categoría, y fui a comprobar hasta qué punto eso es cierto.
Empecé con esto: vamos a $\mathcal{C}$ ser una categoría, $T:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ una asignación de objeto, y $\mathcal{K}$ otra categoría (con la identidad y la composición denota como $\eta$$\rhd$, respectivamente), tal que:
- $\mathrm{Ob}(\mathcal{K})=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$
- $\mathcal{K}(A,B)=\mathcal{C}(A,TB)$
Luego trató de derivar el Kleisli triple $(T, \eta, \mu)$ ( $Tf = (\eta\circ f)\rhd \mathrm{id}$ $\mu=\mathrm{id}\rhd\mathrm{id}$ ), pero rápidamente perplejo cuando tratando de mostrar que $T$ es un functor. Mi hipótesis, parece dar ninguna relación entre las composiciones en ambas categorías. Después de un poco de ensayo y error, he encontrado que la adición de este supuesto:
- Para cada $f:C\to TD$, $g:B\to TC$, y $h:A\to B$ (en $\mathcal{C}$): $(f\rhd g)\circ h = f\rhd(g\circ h)$
dio vuelta a toda la mónada de la bondad. También he comprobado que esta propiedad tiene para la Kleisli categoría de cada mónada, por lo que no estoy de añadir ningún extraño restricciones aquí.
Mi pregunta es, ¿ esta propiedad tiene un nombre? Además: es de ningún interés? es de alguna manera trivial (por alguna razón me perdí)?
PS: sé que esto es muy cerca de la Kleisli triple de la construcción (como en esta pregunta), que también no depende de alguna noción más allá de una categoría; por alguna razón esto uno se siente más simétrica para mí.
