¿Cuál es la distribución de la muestra significa de una distribución de Cauchy?

Question

Por lo general cuando uno toma medias de muestra aleatoria de una distribución (con tamaño de muestra mayor que 30) se obtiene una distribución normal centrado alrededor del valor medio. Sin embargo, he oído que la distribución de Cauchy no tiene valor medio. ¿Qué distribución ¿uno obtiene entonces obtener medios de la muestra de la distribución de Cauchy?

¿Básicamente un % de la distribución de Cauchy $\mu_x$no está definido qué es $\mu_{\bar{x}}$ y lo que es la distribución de los $\bar{x}$?

Answer 1

Si $X_1, \ldots, X_n$ son i.i.d. Cauchy $(0, 1)$ entonces podemos demostrar que $\bar{X}$ también es Cauchy $(0, 1)$ mediante un argumento de función característica:

\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end {Alinee el}

que es sólo la función característica de la distribución estándar de Cauchy. La prueba para el caso más general de $(\mu, \sigma)$de % de Cauchy es básicamente idéntica.

Answer 2

Normalmente, cuando uno toma una muestra aleatoria de los promedios de una distribución (con un tamaño de muestra mayor que 30) se obtiene una distribución normal centrada en torno al valor medio.

No exactamente. Usted está pensando en el teorema del límite central, el cual establece que dada una secuencia $X_n$ de variables aleatorias IID con varianza finita (que en sí implica un número finito de decir $μ$), la expresión de $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ converge en distribución a una distribución normal, como $n$ va al infinito. No hay ninguna garantía de que la media de la muestra de cualquier subconjunto finito de las variables serán distribuidos normalmente.

Sin embargo, me enteré de que la distribución de Cauchy no tiene ningún valor de la media. Lo que la distribución no se obtiene entonces cuando la obtención de la muestra de medios de la distribución de Cauchy?

Como GeoMatt22 dijo, la muestra significa que va a ser ellos mismos Cauchy distribuido. En otras palabras, la distribución de Cauchy es una distribución estable.

Observe que el teorema central del límite no se aplica a Cauchy distribuido variables aleatorias porque no tienen finito media y la varianza.