Demostrar que la siguiente función es discontinua en todas partes excepto en $x = 0$

Question

$f(x)=\begin{cases}0, \; x \notin \mathbb{Q} \\ x , \; x \in \mathbb{Q} \end{cases} $

He intentado hacer esta prueba a través de la definición de delta epsilon con la densidad de los racionales.

Esto es lo que tengo:

Que $a \in \mathbb{R} , a \neq 0$ Supongamos $a \in \mathbb{Q} $Let $ \delta > 0$ por el densitiy de los irrationals allí existe $x \notin \mathbb{Q}$ tal que $|x - a| < \delta$ y $f(x) = 0$ % por lo tanto $|f(a) - f(x)| = |f(a)| = |a|$

No estoy seguro de qué hacer a partir de este punto

Answer 1

Vamos $a \in \mathbb{Q}$, $a \not = 0$ y seleccione $\epsilon = \dfrac {|a|}{2}$. Para que el límite exista, debe existir un $\delta$ tal que $|f(x) - f(a)| < \dfrac {|a|}{2}$ siempre $x \in (a- \delta, a+\delta) - \{a\}$. Debido a la densidad de irrationals, para cualquier $\delta$ existe un irracional $x_0$ tal que $x_0 \in (a- \delta, a+\delta) - \{a\}$. Pero esto implica que $|f(x_0) - f(a)| < \dfrac {|a|}{2} \implies |0-a| < \dfrac{|a|}{2}$, lo cual es falso.

La gráfica de $f$ es la línea azul y la línea roja (con lagunas en la de curso). Podemos ver que para cualquier $a$, si podemos encontrar la $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que la línea azul está fuera de $(f(a)-\epsilon, f(a) + \epsilon)$, pudimos demostrar que no hay $\delta$ que se cumple la necesaria proprety.

Si $a=2$, se puede elegir cualquier $\epsilon$ menor que $2$,$1.5$. Pero necesitábamos encontrar una $\epsilon$ que el trabajo no importa lo $a$, e $\dfrac a2$ hace el trabajo. Pero usted necesita para tener en cuenta que $a$ podría ser negativo; desde $\epsilon>0$, tuvimos que tirar en el valor absoluto.

Answer 2

Sugerencia:

Si $x$ es irracional por la densidad de los racionales hay una secuencia de racionales $(x_n)$ convergen a $x$ tal que

$$x = \lim_n x_n =\lim_n f(x_n) \neq f(x) = 0.$$

Ahora consideremos racional $x \neq 0$.

Answer 3

Que $x$ ser un número real. Entonces por la densidad de números racionales existe un $\{x_{n} \}$ de la secuencia de números racionales que convergen a $x$. Pero si $f$ es continua tenemos $f(x_{n}) \to f(x)$. Pero entonces $f$ sería idénticamente cero, que es una contradicción.

Answer 4

Para la continuidad en el origen, deje $\epsilon>0$ ser dado. Luego nos dicen que si $|x| < \epsilon$,$|f(x) - f(0)| =|f(x)| < \epsilon$. De hecho, si $x$ es racional, entonces $|f(x)| = 0 < \epsilon$ e si $x$ es irracional, entonces $|f(x)| = |x| < \epsilon$.

Si $a$ es irracional, entonces por la densidad de los racionales, hay alguna secuencia $r_n\to a$ $r_n$ racional para cada $n$. Por nuestra definición de $f$, $|f(a) - f(r_n)| \ge \eta$ para algunos $\eta>0$ y todos los $n$, lo $f$ no es continua en a $a$.

Si $a$ es racional, entonces la densidad de la irrationals, hay una secuencia $\alpha_n\to a$ $\alpha_n$ irracional para cada $n$. Por nuestra definición de $f$, $|f(a) - f(\alpha_n)| \ge \eta'>0$ para algunos $\eta'$ y todos los $n$, lo $f$ no es continua en a $a$.

Answer 5

Me gustaría añadir una respuesta en la que se utiliza directamente epsilon-delta definición.

Deje $x \in \mathbb{R}$$x \neq 0$. Queremos mostrar que $f$ no es continua en a $x$. Así queremos encontrar una $\epsilon > 0$ tal que para todos los $\delta > 0$ la siguiente condición no se cumple: $$\forall x' \in \mathbb{R} \text{,} \ (|x-x'| < \delta \implies |f(x)-f(x')| < \epsilon)$$

Por lo tanto, si $x \in \mathbb{Q}$, se puede elegir $\epsilon = |x/2|$ porque no importa lo pequeño que elija $\delta$, habrá siempre un irracional $x'$ en ese intervalo y, a continuación, $|f(x)-f(x')| = |x|$ que siempre es mayor que $\epsilon$. Otro caso es similar.

Y para la continuidad en $0$, usted realmente no necesita la densidad de $\mathbb Q$, acaba de elegir a $\delta$$\epsilon$.