Con un promedio de morfismos a recoger estructura

Question

En la prueba de Maschke del teorema, podemos mágicamente transformar transformaciones lineales $T$ en los mapas que conservan el grupo de estructura de anillo. El método es definir

$ \bar T(v) = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} g^{-1} T(g(v))$

Nota: para que este tenga sentido, tenemos que ser capaces de dividir por $ |G|$. En otras palabras, la característica de $ F$ no divide $ |G|$. Al $ T$ es ya una $ FG$-módulo homomorphism:

$ \bar T(v) = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} g^{-1} T(g(v)) = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} g^{-1} gT(v) = \frac{1}{|G|} \sum\limits_{g \in G} T(v) = T(v)$

En esencia, nos gustaría $ g^{-1}T(g(v))$ a sólo el ser $T(v)$ para cualquier transformación lineal $ T$, pero no lo es. Así que formamos una función mediante la adopción de los promedios y tratando de aguas abajo de la desviación. Y funciona! Terminamos con una honesta $ FG$-módulo de morfismos.

Vi otro ejemplo de esto en Guillemin/Abadejo de la topología Diferencial. Aquí empiezan con n-tensor $T$ y de forma alterna tensor:

$Alt(T) = \frac{1}{n!} \sum\limits_{g \in S_n} sgn(g) T^g$

Mi pregunta es: ¿de Dónde viene esta especie de "promedio para recoger estructura"? Podemos convertir mapas del juego en equivariant mapas en el G-establecer la configuración? O algo diferente como promedio continuo de mapas para llegar lisos. La obstrucción obvia es ser capaz de dividir, por lo que hay una forma de evitar esto? Así que una segunda pregunta es: cuando usted no puede hacer este promedio, ¿qué tipo de soluciones existen?

Answer 1

En ambos casos se menciona, el "promedio" de la construcción es la proyección en el $G$-subespacio invariante.

Es decir, suponga que está trabajando con la categoría de (generalmente finito-dimensional) representaciones de algunos algebraicas objeto: un álgebra, un grupo, una Mentira álgebra, etc. Por lo general hay un trivial representación de algún tipo, que es unidimensional y tiene una interesante representación de la estructura. Por ejemplo, dado un grupo, entonces no es la representación en el espacio tridimensional con el trivial de acción. Dada un álgebra de la Mentira, el análogo es el de una dimensión de la representación, donde todo hechos por cero.

Deje $A$ ser algunos algebraicas objeto que puede actuar en $k$-espacios vectoriales, por lo que podemos formar la categoría de $A$-representaciones, y supongamos $A$ tiene una representación trivial $\mathbf{1}$. Supongamos que todas las representaciones son de interés finito-dimensional espacios vectoriales. Deje $V$ ser un objeto de nuestra categoría (de $A$representaciones); a continuación, $V$ contiene un mayor subobjeto $V' \subset V$ en el que el $A$-acción es trivial: que es, $V'$ es una suma de copias de $\mathbf{1}$. En el caso de un grupo, el más grande trivial subobjeto es el punto fijo en el espacio de todo el grupo. En el caso de una Mentira álgebra, la mayor trivial subobjeto consta de los vectores que son aniquilados por todo en la Mentira de álgebra.

Ahora la pregunta es si $V'$ admite un complemento en $V$: es decir, la inclusión $A' \to A$ split? Si lo hace, entonces es una $A$-equivariant proyección de $V \to V'$, lo que se debe pensar en la generalización de un promedio. En el caso de grupos finitos (donde la característica de $k$ se prime a la orden), se trata de una proyección: de esta manera se sigue por el teorema de Maschke (semisimplicity del grupo de álgebra), y la idea es que el promedio de argumento. Dado un $k$-proyección lineal $V \to V'$ (que siempre existe para espacios vectoriales), uno de los "promedios" es obtener un $A$-proyección lineal. Uno de los casos donde la analogía con un promedio que es menos obvio es donde $A$ es semisimple Mentira álgebra, donde también es cierto que dicha proyección operadores de existir. (Es cierto que uno puede asociar a $A$ un compacto de Lie del grupo y, a continuación, para que un promedio de argumento no funciona, con $A$ reemplazado por dicho grupo Mentira.)