Verdadero o falso: Si juegos $A$ y $B$ tienen una maxima y $A \cap B \neq \emptyset$, entonces el $A \cap B$ una maxima

Question

Estoy casi seguro de que la declaración contenida en el título es Cierto, pero no estoy 100% seguro de cómo demostrarlo, o si mi conclusión es válida.

Mi razonamiento es que desde $A$ $B$ ambos tienen una maxima, entonces tienen un límite superior que pertenece a sus respectivos conjuntos.

Como ejemplo, podemos pensar en $A$ $B$ cerrado de intervalos, y sus instersection debemos, al menos, estar delimitado por encima, y cerrado por el lado derecho.

Es mi línea de pensamiento correcto, hay algo que me he perdido?

Answer 1

Subconjuntos de los reales de tener un máximo no son necesariamente cerrado intervalos: considerar, por ejemplo, el conjunto de $$ B=[0,1)\cup\{2\} $$ que ha $2$ como máximo. Si tomamos $A=[0,1]$, $A$ tiene un máximo, pero la intersección $$ A\cap B=[0,1) $$ no.

En términos más generales, cada elemento de a $x\in A\cap B$ es menor o igual a$\max A$$\max B$, pero no hay manera de encontrar un máximo de $A\cap B$ menos que el mínimo entre el $\max A$ $\max B$ pertenece a la intersección o tenemos más información acerca de los dos conjuntos.

Por ejemplo, si sabemos que $A$ $B$ son intervalos cerrados, entonces la afirmación es verdadera. Supongamos que $\max A\le\max B$. Si $\max A\notin B$,$\max A<b$, para cada $b\in B$. Pero, a continuación,$A\cap B=\emptyset$. Por lo tanto, si $A\cap B\ne\emptyset$, necesariamente, ha $\max A\in B$$\max(A\cap B)=\max A$. Del mismo modo, si $\max B\le \max A$.

Answer 2

No. Let $A=\mathbb{Q}\cap[0,1]$, $B=(\mathbb{Q}\cap[0,1))\cup(1,2]$. Entonces $A\cap B=[0,1)\cap\mathbb{Q}$.