Un estructurales prueba de que $ax=xa$ formas un monoid

Question

Durante el debate sobre este problema me encontré con la siguiente observación:

Si $M$ es un monoid y $a \in M$ $\{x: ax = xa\}$ es un submonoid.

Este es trivial demostrar mediante la comprobación de la identidad y cierre bajo la multiplicación. Hay una forma más estructural/conceptual de la prueba, por ejemplo uno que presenta algún ideal, un homomorphism etc.? Traté de usar el monoid álgebra $\mathbb{Z}[M]$ o un monoid acción $a,(x,y) \to (ax,ya)$, pero no podía formalizar.

Answer 1

No sé si llamar a los siguientes "estructural prueba" o un "creído-up de la prueba". En cualquier caso, es diferente de la prueba obvia.

Deje $R$ ser un anillo. Un aditivo función de $d \colon R \to R$ se llama derivación si $d(xy) = d(x)y + xd(y)$ todos los $x,y \in R$. Es bien sabido que cualquier elemento de a $a \in R$ define un interior derivación $[a,-] \colon R \to R$, dado por $x \mapsto [a,x] = ax - xa$.

Aquí es la parte en que estoy preocupada puede ser considerado como "hacer trampa": Es más fácil de calcular que el núcleo de una derivación $d \colon R \to R$ es un sub-anillo de $R$, que contiene la identidad multiplicativa si $R$ tiene uno (el uso de $d(1) = d(1 \cdot 1)=\cdots$).

Ahora, dado un monoid $M$ y el elemento $a \in M$, considerar la monoid anillo de $R = \mathbb{Z}[M]$ como se mencionó anteriormente. Deje $d = [a,-] \colon R \to R$ ser el interior de la derivación definido por el elemento $a$. A continuación, $\ker(d)$ es unital sub-anillo de $R$, en particular un submonoid de $R$. Uno fácilmente se ve que el centralizador de $a$ $M$ es igual a $M \cap \ker(d)$, y es por lo tanto un submonoid de $M$.

Como dije anteriormente, no estoy convencido de que esta respuesta está en el espíritu de la intención de la pregunta. Pero yo pensaba que iba a ofrecer al menos una prueba desde un lugar diferente perspectiva.

Answer 2

Estoy totalmente de acuerdo con el comentario de Hagen von Eitzen. Por lo tanto, no voy a interpretar la cuestión de la entrega de la mayoría simple de la prueba, sino más bien como la forma de generalizar. De hecho, hay varias variantes. Por ahora, yo solo carne fuera de la parte de álgebra universal; tal vez voy a agregar algo sobre monoidal categorías más tarde. Espero que esto arroja alguna luz sobre la "naturaleza" de esta observación fundamental. Pero en cualquier caso no parece ser completamente formal: Ninguno de los habituales categórica construcciones producir este submonoid.

$~~~\textbf{1. Universal algebra}$

Dada una teoría algebraica $\tau$, una clase de $B$ de las operaciones binarias en $\tau$ y una opcional constante $e$, se asume lo siguiente:

a) Para todos los $*,\circ \in B$, tenemos una igualdad de derivados de operaciones ternarias $a * (b \circ c) = (a*b) \circ c = (a \circ b) * c = a \circ (b * c)$.

b) Para todos los $* \in B$ tenemos $a*e=e*a$ como derivados de operaciones unarias.

c) Todos los $* \in B$ "bihomomorphisms" con respecto a todas las operaciones fuera de la $B$. Es decir, para cada $n \in \mathbb{N}$ y cada una de las $n$-ary operación $e \neq \omega \in B^c$ tenemos $a * w(b_1,\dotsc,b_n) = w(a*b_1,\dotsc,a*b_n)$$w(b_1,\dotsc,b_n)*a = w(b_1*a,\dotsc,b_n*a)$, tal como se deriva $n+1$-ary operaciones.

Cuando no utilizamos $e$, b) se quita, así como la condición de $e \neq \omega$ en c).

De la observación. Deje $M$ $\tau$- módulo de e $a \in M$. A continuación, $N=\{(x,y) \in M^2 : \forall * \in B : a*x=y*a\}$ es un submódulo de $M^2$.

En particular, $\{x \in M : \forall * \in B : a*x=x*a\}$ es un submódulo de $M$.

Prueba. Claramente $(e,e) \in N$. Deje $(x,y),(x',y') \in N$, entonces para todos los $\circ \in B$ tenemos $(x \circ x',y \circ y') \in M$, ya que para todas las $* \in B$ hemos

$a*(x \circ x') = (a*x) \circ x' = (y*a) \circ x' = y*(a \circ x')=y*(y' \circ a) = (y \circ y') * a$.

Esto muestra que el cierre de la propiedad con respecto a la $B$. Si $\omega \in B^c$ $n$- ary y $(x_i,y_i) \in N$$1 \leq i \leq n$,$(\omega(x_1,\dotsc,x_n),\omega(y_1,\dotsc,y_n)) \in N$, ya que para todas las $* \in B$ hemos

$a*\omega(x_1,\dotsc,x_n) = \omega(a*x_1,\dotsc,a*x_n)=\omega(y_1*a,\dotsc,y_n*a)=\omega(y_1,\dotsc,y_n)*a$. $~~\square$

Observación General. Cuando en b) que incluso la demanda de $a*e=a=e*a$, luego por un) $B$ se compone de más de una operación binaria.

Ejemplo 1. Deje $\tau$ ser la teoría de la semigroups con $B$ consisten en el producto. Entonces se cumplen las condiciones, de modo que para cada semigroup $H$ $a \in H$ tenemos que $\{(x,y) \in H^2: a*x=y*a\}$ es un subsemigroup de $H^2$.

Ejemplo 2. Deje $\tau$ ser la teoría de la monoids con $B$ consisten en el producto y $e$ la unidad de elemento. Entonces se cumplen las condiciones. Por lo tanto, para cada monoid $M$ $a \in M$ tenemos que $\{(x,y) \in M^2 : a*x=y*a\}$ es un submonoid de $M^2$.

Ejemplo 3. Deje $\tau$ ser la teoría de anillos (opcionalmente unital y/o conmutativa) con $B,e$ como antes. Entonces se cumplen las condiciones. Por lo tanto, si $R$ es un anillo y $a \in R$, $\{(x,y) \in R^2 : a*x=y*a\}$ es un sub-anillo de $R^2$. El mismo funciona con semirings.

No-Ejemplo 4. Deje $\tau$ ser la teoría de la $\star$-anillos, es decir, anillos equipados con un involutiva antiautomorphism. A continuación, c) no está satisfecho. Y de hecho, si $R$ $\star$- ring y $a \in R$, $\{x \in R : ax=xa\}$ no es siempre un sub-$\star$-anillo de $R$. Una condición necesaria es que el $a$ es normal, es decir, que $a$ viajes con $a^\star$. Una condición suficiente es que $a$ es auto-adjunto, es decir, que $a=a^\star$.

Observe, sin embargo, que el $\{x \in R : ax=xa, a^\star x = x a^\star\}$ es un sub-$\star$-anillo de $R$. Más generalmente, si $S \subseteq R$ es un sub-$\star$-anillo de $R$, entonces su centralizador $\{x \in R : \forall a \in S : ax=xa\}$ es un sub-$\star$-anillo de $R$. Este hecho es muy importante en la teoría de álgebras de von Neumann, una rama del análisis funcional moderno. Sin embargo, la instrucción correspondiente para teorías de $\tau$ no se sostiene sin más supuestos en $\tau$!

Espero que esto ilustra que la observación no es completamente formal. En su lugar, es muy interesante, que merece más atención en otras categorías.

$~~~\textbf{2. Monoidal categories}$

La observación de monoids generaliza de la siguiente manera: Si $M$ es un monoid y $N$ es un submonoid de $M$, entonces su centralizador $C(N) = \{x \in M : \forall n \in N : xn=nx\}$ es un submonoid de $M$. Ahora, esta declaración se interioriza en una arbitraria cerrado monoidal simétrica categoría $\mathcal{C}$ con ecualizadores:

Deje $(M,\mu,e)$ ser un monoid objeto en $\mathcal{C}$, y deje $(N,\mu,e)$ ser un submonoid de $M$, o incluso más, en general, cualquier monoid equipado con un homomorphism $i : N \to M$ de monoid objetos. Hay dos morfismos $\check{f},\check{g}: M \otimes N \rightrightarrows M$, es decir, la composición de la $M \otimes N \xrightarrow{M \otimes i} M \otimes M \xrightarrow{\mu} M$, así como la composición de la $M \otimes N \xrightarrow{M \otimes i} M \otimes M \xrightarrow{S} M \otimes M \xrightarrow{\mu} M$ donde $S$ denota la simetría. Estos corresponden a dos morfismos $f,g : M \rightrightarrows \underline{\hom}(N,M)$. Deje $j : C(S) \hookrightarrow M$ ser su ecualizador. A continuación, se puede probar que $C(S)$ lleva un único monoid estructura de tal manera que $j$ se convierte en un homomorphism de monoids. La observación de que esto no puede ser meramente formal, por ejemplo desde $f,g$ no homomorphisms de monoids. Voy a omitir la prueba, debido a que es sólo una recta hacia adelante generalización del caso $\mathcal{C}=\mathsf{Set}$. Uno sólo como "diagrama-ize" el elemento cálculos.

Hay un montón de cerrado monoidal simétrica categorías, donde este puede ser aplicado. Para $\mathsf{Ab}$, obtenemos centralizadores para subrings. Para $\mathsf{Mod}(R)$ tenemos centralizadores para la sub-$R$-álgebras. Para $\mathsf{Sh}(X)$ tenemos centralizadores para áfrica(gavillas de anillos en $X$). También estoy bastante seguro de que la declaración se sostiene para las categorías superiores, de modo que por ejemplo tenemos centralizadores para sub-anillo de espectros.