Un laico ' motivación de s para el análisis no estándar y límites generalizadas

Question

Descargo de responsabilidad: Mis disculpas por hacer una pregunta larga. La pregunta es, posiblemente, también en lugar específico, pero tengo la esperanza de que (algunas partes de) podría ser útil en general.

Antecedentes: recientemente he aprendido algunos no estándar de análisis y generalización de los límites introducidos a través de (ultra)filtros. Mi manera de ver las cosas está fuertemente inspirado por el Tao de la breve artículo sobre estos temas. El áspero y la idea básica (para hacer precisa que la pieza de matemáticas, estoy hablando de algo) parece ser que casi toda la estructura en $\mathbb{R}$ puede ser "importado" a las secuencias en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ por la siguiente construcción:

1. Tomar un ultrafilter $p$ (un subconjunto de a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ que puede ser pensado como la familia de todos los "grandes" de subconjuntos de a $\mathbb{N}$). Utilizar esto para obtener un buen comportamiento noción de $p$-casi todos los $n$.

2. Declarar una frase acerca de los números reales $\phi(x,y,\dots)$ $p$- cierto acerca de las secuencias de $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,\dots$ si y sólo si $\phi(x_n,y_n,\dots)$ mantiene para casi todos los $n$. Observe que $p$-la verdad mismas reglas como "ordinario" de la verdad.

3. La transferencia tanto de la estructura como usted necesita de acuerdo a $p$-verdad. Por ejemplo, $x + y = z$ debe significar que $x_n + y_n = z_n$ $p$- casi todos los $n$. Si es necesario, dividir la equivalencia de la relación de $x \sim x' \Leftrightarrow x_n = x_n' \text{ for $p$-almost all $n$}$. Llame a $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ hyperreals con esta estructura, y se denota por a $*\mathbb{R}$

Los hechos clave sobre estos hyperreals parecen ser las siguientes:

1. No es la transferencia de principio, que indica muy aproximadamente la misma afirmaciones son verdaderas para los reales y hyperreals, mientras que los mantenga intrínseca (es decir, la cuantificación es sólo en el conjunto subyacente ($\mathbb{R}$ o $*\mathbb{R}$ más que en algunos externa como $\mathbb{N}$) y no demasiado compleja (no cuantificación sobre los conjuntos, etc.)

2. No es el contable de saturación indica muy groso que si cualquier número finito de oraciones $\phi_1, \phi_2, \dots, \phi_n$ puede ser al mismo tiempo se dieron cuenta, entonces todas estas frases puede ser al mismo tiempo se dieron cuenta.

3. Hay infinitesimals (como el dado por $x_n = \frac{1}{n}$), los infinitos (como el dado por $x_n = n$), y las ideas tales como (uniforme), la continuidad o la diferenciabilidad etc. admitir la más elegante de las definiciones y de las pruebas.

4. La noción de un sistema generalizado de límite que surge de forma natural por tomar $p\text{-}\!\lim_n x_n = l$ donde $l$ es el único real que es infinitesimalmente cerca de $x$ (siempre $x$ es limitado).

Ser un estudiante de matemáticas, tengo un lugar de interés técnico en la materia. He leído una serie de pruebas usando ultrafilters (principalmente en el ergodic theory/teoría de los números, por lo que no implica tanto el análisis como tal), y yo podría tratar de usar estos conceptos a trabajar en los problemas matemáticos.

Yo voy a presentar una breve charla sobre los conceptos que se describen arriba, y he aprendido que el público va a incluir muchos no mathamaticians: habrá físicos, economistas, incluso los biólogos. De ahí la pregunta:

La pregunta: ¿Cómo se puede motivar a los no-estándar de análisis a alguien con solo un matemático básico de fondo? ¿Cuáles son las razones por las que un principiante matemático sería interesante? La motivación conocido para mí, incluye principalmente:

• La existencia real de infinitesimals/infinitos y totalmente generalizada de los límites.
• Simplificado $\varepsilon$-gestión. (pero: sólo interesante si usted realmente conseguir sus manos sucias con $\varepsilon/\delta$-tipo de cálculo)
• Aplicaciones de ultrafilters en la combinatoria, como el teorema de Ramsey para los gráficos o la Flecha del teorema para la votación.

¿Hay más? Son los de arriba válido y convincente? Hay algunos adicionales conceptual de las propiedades clave de $*\mathbb{R}$ que yo no lo mencionó?

Solicitud adicional: yo también aprecio las correcciones a las ideas presentadas anteriormente. Son más bien vagas por el diseño, pero que mi pensamiento es erróneo o subóptima, voy a estar agradecido a cualquiera que establece el derecho.

Answer 1

Creo que estás minimizando "simplificado $\epsilon$-gestión": ese es uno de los principales motivos por los que desea infinitesimals en el primer lugar!

por ejemplo, la fórmula para el límite

$$\lim_{x \to a} f(x) = \operatorname{st} f(a + \epsilon)$$

siempre que el límite existe y $f$ $a$ son estándar y $\epsilon$ es un valor distinto de cero infinitesimal. $\text{st}$ es el "estándar": es decir, el redondeo de un número limitado a la más cercana al número de norma. (también, dadas las condiciones en $a$$f$, este límite existe si y sólo si el lado derecho tiene el mismo valor para todos los distinto de cero infinitesimals $\epsilon$)

Otro ejemplo es que hay una realidad ordenada argumento de que cualquier estándar continua la función en $[a,b]$ tiene un máximo. El esquema es:

• "Enumerar" el intervalo de $[a,b]$, dividiéndolo en (hiper)un número finito de intervalos
• El conjunto de la izquierda extremos de (hiper)finito, y por lo que, entre ellos, $f$ tiene un máximo en, digamos, $c$.
• Debemos tener $f(\operatorname{st} c) = \operatorname{st} f(c)$, y es la máxima de $f(x)$ en puntos estándar.

(y a continuación, transferir el teorema para obtener el correspondiente hecho para todas las funciones continuas y cerradas intervalos)

Otro ejemplo de por qué tener infinitesimals es útil la parte superior de mi cabeza es la definición de la diferencial. Dada una variable $x$ y infinitesimal variable $\Delta x$ si $y$ depende de $x$ través $y = f(x)$ ($f$ diferenciable), se introduce un $dy$ depende de $x$ $\Delta x$ por $dy = f'(x) \Delta x$. $dy/dx$ es , literalmente, ordinario de la división, sin cualquier cosa sutil pasando.