$x\cos x+\sin x=0$

Question

Sean las raíces positivas de la ecuación de $a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},a_{n+1},...$

$x\cos x+\sin x=0$

en orden ascendente.

Entonces demostrar que

$2a_{n+1}<a_{n+2}+a_{n}$

Mi intento:

La ecuación dada se reduce a

$\tan x=-x$

Luego he intentado dibujar la gráfica de $y=\tan x$ y $y=-x$ todos que podía deducir era que $\frac{\pi}{2}<a_{n+1}-a_{n}<\pi$ pero más allá de eso nada se pudo establecer

Answer 1

Considere la función $f(x)=x+\tan x$ con dominio $(0,\pi/2)$. Esta función es estrictamente creciente y estrictamente cóncava hacia arriba. Tenga en cuenta que $a_n=n\pi-b_n$ donde $b_n=f^{-1}(n\pi)$. $f^{-1}$ Es cóncava hacia abajo, por lo que la desigualdad de Jensen implica $$ \frac{b_n+b_{n+2}}2 < e_ {n+1} $$ donde el resultado.

Answer 2

Esto no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

El % de soluciones $a_n$son tales que $$ a_n= (2 n+1)\frac{\pi}{2} +\epsilon_n$$ where $\epsilon_n$ es "obviamente" más y más pequeños.

Teniendo en cuenta que buscamos el cero de la función $$f(x)=x\cos (x)+\sin( x)$$ we could use a single iteration of Newton method starting using $ x_0 =(2 n+1)\frac{\pi}{2}$ and get $$a_n\approx x_1=(2 n+1)\frac{\pi}{2}+\frac{2}{(2 n+1)\pi }$$ which would lead to $$a_{n+2}+a_n-2a_{n+1}=\frac{16}{\pi \left(8 n^3+36 n^2+46 n+15\right)}$$