Interpretación de la declaración

Question

Acabo de empezar con los cuantificadores y tengo problemas para interpretar esto.

Esto es lo que entiendo:

Por cada Epsilon $> 0$ existe un Delta $> 0$ para todos $x$ en $\mathbb{R}$ .

El antecedente de la implicación es falso, porque no hay ningún Delta que sea siempre mayor que $x$ .

El precedente de la implicación también es falso, porque no todo Epsilon mayor que $0$ también es mayor que $x^2 -1$ para cualquier $x$ .

Así que la afirmación es falsa. ¿Es mi lógica correcta? No estoy seguro de si estoy leyendo bien.

Answer 1

Creo que tu dificultad se debe a la falta de paréntesis en la fórmula. Creo que la fórmula pretendía ser $$ (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb R)\Big([0<|x-1|<\delta]\implies [|x^2-1|<\varepsilon]\Big). $$ Es decir, los cuantificadores del principio se aplican a toda la implicación, no sólo a su antecedente. Así es también como las dos respuestas anteriores a la mía (de Ahmed y Michael Cotton) interpretaron la fórmula.

Answer 2

$(\forall\varepsilon > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R):0 <| x − 1 |< δ \implies | x^2 − 1 |< ε$

Creo que lo has leído mal. Debería ser:

Por cada $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que para todos los números reales $x$ sostiene que
si $0<|x-1|<\delta$ entonces $|x^2-1|<\varepsilon$ . Aquí $x$ no es un número real, sino un número real que se puede elegir tan cerca de $1$ para que $|x^2-1|<\varepsilon$ - lo cerca de cero que se elige primero $\varepsilon$ .

Answer 3

Esta es una buena oportunidad para un "mini análisis real lección". Su fórmula era ciertamente errónea, y Andreas tuvo la amabilidad de arreglarla: $$ (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb R)(0<|x-1|<\delta\to|x^2-1|<\varepsilon). $$ Lo que tienes aquí es en realidad un caso particular de la definición formal de un límite en un número real que se utiliza. ¿Eh? Sí, considere la siguiente definición de un límite en un número real de James Stewart Cálculo libro de texto.

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Definición: Dejemos que $f$ sea una función definida en algún intervalo abierto que contenga el número $a$ , excepto, posiblemente, en $a$ mismo. Entonces decimos que el límite de $f(x)$ como $x$ se acerca a $a$ es $L$ y escribimos $$ \lim_{x\to a}f(x)=L $$ si para cada número $\epsilon>0$ hay un número $\delta>0$ tal que $$ |f(x)-L|<\epsilon\qquad\text{whenever}\qquad 0<|x-a|<\delta. $$

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Preste mucha atención a la redacción de esta definición. Usando cuantificadores universales, podemos representarla como sigue: $$ (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb{R})(0<|x-a|<\delta\to|f(x)-L|<\epsilon). $$ Ahora considera lo que escribió Andreas: $$ (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in\mathbb R)(0<|x-1|<\delta\to|x^2-1|<\varepsilon). $$ ¿Qué significa esto? media en el contexto de su pregunta? Por George, en realidad está considerando la formal declaración de la demanda $$ \lim_{x\to 1}(x^2-1)=0. $$ Esto es lo que su declaración significa y no es falso. A continuación esbozaré una prueba formal que sigue la definición formal de un límite.

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Reclamación: $$ \lim_{x\to 1}(x^2-1)=0. $$

Prueba. Dado $\epsilon>0$ necesitamos $\delta>0$ de manera que si $0<|x-1|<\delta$ entonces $$ |(x^2-1)-0|=|x^2-1|=|(x-1)(x+1)|<\epsilon. $$ Tenga en cuenta que si $|x-1|<1$ entonces $$ -1<x-1<1\Longrightarrow 1<x+1<3\Longrightarrow |x+1|<3. $$ Así que toma $\delta=\min\left\{1,\frac{\epsilon}{3}\right\}$ . Entonces \begin {align} 0<|x-1|< \delta & \Longleftrightarrow |(x-1)(x+1)| \\ [1em] & \leq |3(x-1)| \\ [1em] &= 3 \cdot |x-1| \\ [1em] &< 3 \delta\\ [1em] & \leq \epsilon. \end {align} Así, $\lim_{x\to 1}(x^2-1)=0$ por la definición de un límite. $\Box$

Answer 4

Se podría leer la implicación como:

$|x^2 -1|<\varepsilon\:$ siempre que $\: |x-1|<\delta$

que parece estar bien.

Con los cuantificadores, todo esto sólo dice la función $x^2$ es continua en $x=1$ .

Nota añadida: Véase la respuesta de Andreas Blass. Suponía que los cuantificadores se aplicaban a toda la implicación. Dependiendo del texto del que se trate, probablemente sea esa la intención.