Ayudar a entender la prueba de $ \lim \limits_{x\to 0^+} f \left(\frac{1}{x}\right)=\lim \limits_{x\to \infty}f(x)$

Question

La siguiente es una respuesta a la prueba de

$$ \lim \limits_{x\to 0^+}f\left( \frac{1}{x} \right)=\lim \limits_{x\to \infty}f(x)$$

Si $l=\lim \limits_{x\to \infty}f(x)$, entonces para cada $\epsilon>0$ allí es algunos $N$ tal que $|f(x)-l|<\epsilon$ $x>N$ y nosotros podemos asumir claramente que $N>0$. Ahora si $0<x<\frac{1}{N}$, entonces el $\frac{1}{x} > N$, que $|f\left(\frac{1}{x}\right)-l|<\epsilon$. Así, $\lim \limits_{x\to 0^+}f\left( \frac{1}{x} \right)=l$.

No entiendo cómo si $\frac{1}{x} > N$, podemos concluir que el $|f\left(\frac{1}{x}\right)-l|<\epsilon$.

Answer 1

Deje $L=\lim \limits_{y\to \infty}f(y)$. Entonces, por definición, sabemos que:

Para cada $\epsilon^*>0$, hay algunos $N>0$ tal que $|f(y)-L|<\epsilon^*$ todos los $y>N$.

Queremos mostrar que $\lim \limits_{x\to 0^+}f\left( \frac{1}{x} \right)=L$. Es decir, queremos mostrar que:

Para cada $\epsilon>0$, hay algunos $\delta>0$ que si $0<x<\delta$,$|f(1/x)-L|<\epsilon$.

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Con eso en mente, elegir cualquier $\epsilon>0$. Ahora vamos a $\epsilon^*=\epsilon$. El uso de la primera definición, vamos a $\delta=\dfrac{1}{N}$ donde $N$ corresponde a nuestra selección de $\epsilon^*=\epsilon$.

Ahora supongamos que $0<x<\delta=\dfrac{1}{N}$. Entonces sabemos que el $\dfrac{1}{x}>N$. Ahora vamos a $y=\dfrac{1}{x}$. Desde $y=\dfrac{1}{x}>N$, se sigue por la primera definición que $\left|f\left(\dfrac{1}{x}\right)-L\right| < \epsilon^*=\epsilon$, como se desee.