¿Cuáles son las diferencias entre la medida de Lebesgue en el % del cubo de Hilbert $[0,1]^\mathbb{N}$y el estándar medida de Lebesgue en $[0,1]^n$?

Question

No hay ninguna medida de Lebesgue en espacio de Banach de dimensión infinito. Sin embargo, hay una medida de Lebesgue en el % del cubo de Hilbert $[0,1]^\mathbb{N}$. ¿Cuáles son las diferencias entre esta medida y la medida de Lebesgue finito-dimensional sobre $[0,1]^n$?

Answer 1

Aquí hay una diferencia: considere el conjunto de $D_t=\{x\in S\mid m(x)\ \text{exists},\ \frac12-t\leqslant m(x)\leqslant\frac12+t\}$ donde % o $S=[0,1]^n$ $[0,1]^\mathbb N$, $m(x)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nx_k$ si $x$ $[0,1]^n$ y $m(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum\limits_{k=1}^nx_k$ si $x$ se encuentra en $[0,1]^\mathbb N$ y el límite existe. Entonces, $\mathrm{Leb}(D_t)\to0$ cuando $t\to0$ si $S=[0,1]^n$, % y $\mathrm{Leb}(D_t)=1$ cada % positivas $t$si $S=[0,1]^\mathbb N$.

Answer 2

Corolario de 0.8 en de Folland Introducción a ecuaciones en derivadas parciales es que lo dan el volumen de la bola unidad en $\mathbb{R}^n$ $$\omega_n = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)},$ $, que tiende a 0 $n\to\infty$. Esto implica que el volumen de cualquier $\mathbb{N}$-esfera será cero, lo que probablemente tiene algunas consecuencias curiosas, por ejemplo, no puede cubrir cualquier conjunto de medida positiva con el contable muchos $\mathbb{N}$-esferas.

Answer 3

Medida de Lebesgue en $[0,1]^{N}$ es el producto de infinitamente de muchas copias de las medidas de Lebesgue lineales en $[0,1]$ a diferencia de la medida de Lebesgue en $[0,1]^n$ que es el producto de $n$ copias de las medidas de Lebesgue lineales en $[0,1]$.