un subconjunto denso contable funciones Lipschitz

Question

Supongamos $(X,d)$ es un espacio métrico y deje $\mathcal{L}$ ser el espacio delimitado funciones de Lipschitz en $X$. Deje $D$ ser una contables subconjunto denso de $X$ y considerar el conjunto de funciones $$h_{q_1,q_2,k,y}(x)=\min\{(q_1+q_2d(x,y)),k\}, \ q_1, q_2, k \in \mathbb{Q}, \ q_2,k\in(0,1), \ y \in D$$ and let $\mathcal{D}$ the set generated by these functions by taking $\inf$ over finitely many of them. Let $\mathcal{C}=\{\lambda f\ | \ \lambda\in\mathbb{Q}, f\in \mathcal{D}\}$. Is it true that $\mathcal{C}$ is dense (with the uniform metric) in $\mathcal{L}$? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Las sugerencias o las referencias son también muy apreciados.

ACTUALIZACIÓN de cobre.sombrero señaló este es falsa cuando $X=\mathbb{R}$. Es cierto si $(X,d)$ es compacto?

(Referencia: página 107 de este libro: http://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-3-7643-8721-1 )

Answer 1

Deje $X=\mathbb{R}$ con la métrica usual.

En primer lugar tomar un representante de $h(x) = \min(a+b|x-y|, c)$ donde $b \ge 0$. Si $b=0$, $h$ es una constante, si $b \neq 0$ $|x|$ suficientemente grande podemos ver que $h$ es constante.

Vemos entonces que si $d \in {\cal D}$ $|x|$ suficientemente grande, $d$ es, finalmente, una constante.

Por lo tanto, si $h \in {\cal C}$, entonces es, finalmente, una constante.

Elija $f(x) = \min_{k \in \mathbb{Z}} |x-2k|$. Tenga en cuenta que $f(2n) = 0, f(2n+1) = 1$ para todos los enteros $n$.

Supongamos $h \in {\cal C}$ tal que $\|f-h\|_\infty < {1 \over 4}$, en particular $h$ finalmente es una constante, lo que da una contradicción.