¿Qué es una métrica para $\mathbb Q$ en el límite inferior de la topología?

Question

Una fuente útil de contraejemplos en la topología de la $\mathbb R_\ell$, la $\mathbb R$ junto con el límite inferior de la topología generada por la mitad a abrir los intervalos de la forma $[a,b)$. Por ejemplo, este espacio es separable, Lindelöf y la primera contables, pero no de segunda contables. Así, en particular, esto implica que $\mathbb R_\ell$ no es metrizable.

Ahora Urysohn del metrization teorema dice que cualquier regulares, segundo contables espacio metrizable. Aplicando esto a $\mathbb Q_\ell\subset \mathbb R_\ell$ da la (para mí más bien en contra de la intuición) el hecho de que no debe existir una métrica en $\mathbb Q$ inducir el límite inferior de la topología. Lo que nos lleva a la pregunta:

¿Cuál es un ejemplo concreto de una métrica inducir el límite inferior de la topología en $\mathbb Q_\ell$?

Sin duda debe ser posible pasar a través de los pasos de la Urysohn metrization el teorema de dar una (semi-)concreta la incorporación de la $\mathbb Q_\ell$ $\mathbb R^\omega$ (por ejemplo escoger una enumeración de los racionales y la construcción de las funciones que separan los puntos de conjuntos cerrados, y luego mirar el producto cartesiano de estos mapas) y, a continuación, dar la métrica en la $\mathbb Q_\ell$ en términos de esta incrustación.

Pero esto no es realmente lo que estoy buscando, aquí. Me gustaría estar mucho más interesados en una simple métrica para $\mathbb Q_\ell$.

Porque "simple" no está bien definido, yo sin duda también la bienvenida a las respuestas que presentan una métrica, pero que yo no lo consideraría que ser simple. Por otro lado, si usted ve una razón por la cual sólo puede ser no "simple" métricas, por favor siéntase libre de punto esto fuera así.

Gracias!

Answer 1

Deje $\nu:\mathbb{Q} \to \mathbb{N}$ ser una enumeración de $\mathbb{Q}$. Entonces $\displaystyle d(x,y):=\sum_{\min(x,y) < r \le \max(x,y)} 2^{-\nu(r)}$ va a hacer.

Answer 2

EDIT: Este debería funcionar.

Aquí hay otra opción: escribe tu racionales como "mezcla de fracciones," que es como su entero baja más una parte fraccionaria y definir $$d\left(a\frac{p}{q},b\frac{r}{s}\right)=\begin{cases}|a-b|,& a\neq b\\ d'\left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right), &\textrm{otherwise} \end{cases}.$$

Definir la distancia entre fracciones puras por separado. Asumir WLOG que $\frac{p}{q}\leq \frac{r}{s}$. A continuación, establezca $$d'\left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right)=\max\left(\left|\frac{p}{q}-\frac{r}{s}\right|,\frac{1}{m}\right), \frac{k}{m} \in \left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right]$$ Vemos, por ejemplo, que esto da $\left[\frac{1}{2},\frac{5}{6}\right)$ abierto, ya que la distancia de algo más pequeño que $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2},$pero cada una distancia de $\frac{1}{2}$ a algo menos de $\frac{5}{6}$ no es más que $\frac{1}{3}$.

La simetría y homogeneidad axiomas son inmediatos. Consideremos el triángulo de la desigualdad. El único caso en el que no sigue a la de la norma absoluta de la métrica es cuando debemos mostrar $d'\left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right)+d'\left(\frac{r}{s},\frac{t}{u}\right)\geq d'\left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right)$$d'\left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right)=\frac{1}{m}$. Pero si la desigualdad error, tendríamos que contar con el intervalo de $\left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right]$ contienen algo con denominador $m$ más grande que cualquier denominador en los intervalos en la mano izquierda-lo cual es absurdo, ya que dependiendo de los pedidos que tenemos uno de $ \left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right]=\left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right]\cup\left(\frac{r}{s},\frac{t}{u}\right], \left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right]\subset \left(\frac{p}{q},\frac{r}{s}\right],$ o $\left(\frac{p}{q},\frac{t}{u}\right]\subset\left(\frac{r}{s},\frac{t}{u}\right]$.

Así que tenemos una métrica. Para obtener aproximadamente la mitad del intervalo abierto $[x,y)=\left[a\frac{p}{q},b\frac{r}{s}\right)$, tomar la unión de todas las $[m,m+1) \subset [a,b)$. A continuación, para los menos $m$, construcción $[x,m)$ por el infinito de la unión de $\bigcup_{i=0}^\infty\left[a\frac{p}{q+i},a\frac{p}{q+i}+\frac{1}{q+i+1}\right)$, consiguiendo todos estos intervalos por el argumento anterior sobre la $\left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$. Consigue $\left[b,b\frac{r}{s}\right)$ como la bola de radio $\frac{r}{s}$$b$, de la unión de las tres piezas juntas, y hemos terminado.