¿Cómo probar lo siguiente?
Lema. Que $C=[A,A^{\star}]$. $A$ es normal iff $[A,C]=0$.
Una dirección es trivial. La otra dirección reduce mostrando que $A^2 A^\star+A^\star A^2=0$ implica que $A$ es normal, pero no veo por que tiene.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos $[A,C]=0$. Como $C$ es Hermitian, es normal y posee una completa eigensystem. Si $(\lambda,x)$ es un eigenpair de $C$,$C(Ax) = ACx = \lambda Ax$. En otras palabras, cada subespacio propio de $C$ es un subespacio invariante de $A$.
Elija cualquiera de los autovalor $\lambda$ $C$ y denota el subespacio propio asociado al $V$. Desde subespacios propios de a $C$ (siendo una normal de la matriz) son ortogonales uno al otro y son subespacios invariantes de $A$, la restricción de $C$ $V$ es todavía el colector de $A$ $A^\ast$ restringido en $V$. Pero cada colector es traceless. Por lo tanto, $\lambda$ debe ser cero. Por lo tanto, todos los autovalores de a $C$ son cero y $C=0$.
EDIT.
Ahhh, por fin lo he encontrado! Inicialmente, quería ofrecer una línea de prueba de uso más general de la realidad, pero no podía localizar las fuentes y terminó con la de arriba. Ahora, la prueba puede ser simplificado en gran medida.
Una línea de prueba. Como $A$ viajes con $C=[A,A^\ast]$, $C$ es nilpotent (ver también q227984 y q299640); desde $C$ es también Hermitian, debe ser cero y, por tanto, $A$ es normal.
