Demostración de la suma de potencias de $2$

Question

Teorema: Para cada número natural $p$: $$\sum^p_{i=0} 2^i = 2^{p+1}-1$ $ inducirlo a demostrar el teorema de inducción

Demostración:

$1)$ Si tenemos $p=0$ entonces obtenemos $2^0=2^{0+1}-1$ siempre es cierto. $2)$ Suponiendo que la primera afirmación es verdadera, entonces obtenemos que % $ $$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i = 2^{p+2}-1$ahora sabemos que: $$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i - \sum^p_{i=0} 2^i = 2^{p+1}$ $ y si es cierto, debe ser cierto también que: $$2^{p+2}-1-(2^{p+1}-1) = 2^{p+1}$ % $ $$2^{p+2}-1-(2^{p+1}-1)=2^{p+2}-2^{p+1}=2^{p+1}(2^1-2^0)=2^{p+1}$$ QED

¿Es esto una demostración válida?

Answer 1

Parece que estás en el camino correcto, pero hay un par de cosas a destacar. Esto puede ser una cuestión de preferencia, pero creo que la inducción paso debe ser dicho de forma más clara. Algo como

Inducción Paso: Supongamos $\sum^{p}_{i=0} 2^i=2^{p+1}-1$ tiene para todos los $p \in \{1,2,\ldots, k\}$. Entonces...

Y continuar desde allí. En este punto, no estoy seguro de la ventaja de decir $$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i - \sum^p_{i=0} 2^i = 2^{p+1} \implies 2^{p+2}-1-(2^{p+1}-1) = 2^{p+1}$$

A mí me parece que el de arriba no utiliza la hipótesis de inducción, y cualquier conclusión a la que llegan parece un poco circular. Lo que podría ser una mejor medida es para escribir $$\sum^{k+1}_{i=0} 2^i= \sum^{k}_{i=0} 2^i+2^{k+1}$$ This is nice because you can say something about the quantity $\suma^{k}_{i=0} 2^i$ usando la hipótesis de inducción. Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Hipótesis inductiva: $\quad\displaystyle\sum_{i=0}^p 2^i=2^{p+1}-1$ $p\ge 0$.

Debemos deducir que $\quad\displaystyle\sum_{i=0}^{p+1} 2^i=2^{p+2}-1$.

Descomponer la suma:\begin{align*}\sum_{i=0}^{p+1} 2^i=2^{p+2}-1 &= \sum_{i=0}^p 2^i+2^{p+1}\\ &=2^{p+1}-1 +2^{p+1}\qquad\scriptstyle(\text{inductive hypothesis)}\\ &=2\cdot2^{p+1}-1=2^{p+2}-1. \end{align*}

Answer 3

Uno puede probar %#% $ #% sin inducción. La prueba misma funciona para cualquier progresión geométrica $$ \sum_{i=1}^{p}2^i=2^{p+1}-1 $ si $a, aq, aq^2,\ldots$. Por ejemplo, queremos calcular la suma de los primeros términos de la $q\ne 1$. Que $p+1$ $ multiplicando (1) $$ a+aq+aq^2+\cdots+ aq^{p}=X. \tag1 $ y adición de $q$ en ambos lados obtenemos $a$ $ esto da es decir, $$a+q(a+aq+aq^2+\cdots+aq^p)=qX+a.$ $ %#% $ de #% se deduce que $$a+aq+aq^2+\cdots+aq^p+aq^{p+1}=qX+a,$$ y por lo tanto %#% $ de #% en el caso anterior tenemos el $$ X+aq^{p+1}=qX+a.$% y $$ a(q^{p+1}-1)=(q-1)X$: $$X=a\frac{q^{p+1}-1}{q-1}. $ $

Answer 4

Creo que su primera declaración en la parte 2 se pone el carro delante del caballo (que he asumido lo que quieres demostrar, o parecen).

El paso inductivo se supone que para $p$:

$$\sum^p_{i=0} 2^i = 2^{p+1}-1$$

Ahora bien, dado que, de mirar de un lado o de otro para $p+1$. Voy a mirar en el lado izquierdo:

$$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i = \left(\sum^p_{i=0} 2^i\right) + 2^{p+1}$$

Esto no asumir lo que hay que ser demostrado. Sólo estoy dividir el último término de la suma.

Ahora, el sustituto de la supuesta declaración de $p$ en el lado derecho:

$$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i = 2^{p+1}-1 + 2^{p+1}$$

y simplificar:

$$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i = 2 \cdot 2^{p+1}-1 = 2^{p+2}-1 = 2^{(p+1)+1} - 1,$$

y listo.

Answer 5

Otra forma de mirarlo es $$\sum^{p+1}_{i=0} 2^i = 2 \sum^p_{i=0} 2^i +1$ $ que se puede utilizar para pasar de $p$ $p+1$.