¿Cómo refutar un homomorfismo de grupo?
$\text{For } n \in \mathbb N, \pi \in S_n \text{is } S_n \rightarrow S_n, \sigma \mapsto \pi \sigma \text{ a group homomorphism}$ .
Me gustaría demostrar que esto es un error.
$\phi(xx´) = \pi \sigma \pi \sigma ´ \text{ and } \phi(x) \phi(x´)= \pi \sigma \pi \sigma´\text{ so: } \phi(xx´)= \phi(x) \phi(x´)$ . Bueno, veo que he demostrado lo contrario pero no tengo ni idea de cómo podría hacerlo de la manera correcta.
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¿Por qué dices que $\phi(xx´) = \pi \sigma \pi \sigma$ ?
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Para refutar que algo es un homomorfismo, basta con encontrar 2 elementos (o uno repetido) en los que falle la propiedad de homomorfismo. Prueba con un $n,\pi$ y elementos y ver qué pasa
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@ChrisCulter Debería ser $\phi(xx´)= \pi \sigma \sigma ´$ ?
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@jublikon ¡Sí! Suponiendo, eso sí, que estés configurando $x=\sigma$ y $x'=\sigma'$ . Sería más claro escribir sólo $\phi(xx')=\pi xx'$ .
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Así que ahora la pregunta es, ¿en qué circunstancias tenemos $\pi\sigma\sigma'=\pi\sigma\pi\sigma'$ ?
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@ChrisCulter si $\pi$ ¿es el elemento neutro?
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@jublikon ¡Cierto! Si $\pi$ es cualquier otra cosa, la identidad falla, por lo que su argumento demuestra con éxito que $\phi$ no es un homomorfismo.