Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $\varphi(\varphi(n)) = 2.$

Question

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tal que $\varphi(\varphi(n)) = 2.$

Deje $\varphi(n)=m$, por lo que necesito los enteros $m$ tal que $\varphi(m)=2$. Sé que $3,4,6$ del trabajo, pero tengo que ver si no hay otros.

Si $m$ es primo, a continuación, $m=3$

Supongamos que $m$ es incluso, a continuación, $m=2^a(x)$ tal que $x$ es impar.

$\varphi(2^a(x))$ desde el $gcd(2^a,x)=1$ que $\varphi(2^a(x))=2^{a-1}\varphi(x)$. Así que si $a$$1$, entonces usted tiene que $\varphi(m)=\varphi(x)$ $x$ está compuesto deje $x=uv$ donde $u$ $v$ son relativamente primos y mayor que uno. Así que tengo que $\varphi(x)=\varphi(u)\varphi(v)$$\varphi(u)\geq 2$$\varphi(v)\geq(2)$$\varphi(x)\geq4$. También si $m$ es impar se puede utilizar el mismo argumento para demostrar que $\varphi(m) \geq 4$

Estoy teniendo problemas para atar juntos para mostrar que sólo obtendrá $4$ $6$ como las únicas soluciones en el caso de que $m$ no es primo.

Answer 1

Estamos resolviendo $\varphi(m)=2$.

Si $m$ tiene dos factores primeros impares diferentes $p$ $q$, entonces el $\varphi(m)$ es un múltiplo de $(p-1)(q-1) \ge 4$. Así, $m$ tiene a más de uno extraño factor principal $p$.

Escriba $m=2^a p^b$.

Si $b>1$, entonces el $\varphi(m)$ es que un múltiplo de $p$ y por lo tanto no puede ser $2$. So, $b\le1$.

Si $b=0$ y $m=2^a$ y así $a=2$ y $m=4$.

Si $b=1$ y $a\ge 1$ y $\varphi(m)=2^{a-1}(p-1)$. Entonces $a=1$ y $p=3$ y así $m=6$.

Por otra parte, $b=1$ y $a=0$ y así $m=3$.