(1) es correcta porque el líder coeficiente es positivo. Deje $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ser las raíces de $q$. Tenemos $\prod\alpha_i=(-1)^{n+1}$. Podemos ver que si una de las raíces había módulo de $>1$, entonces el otro tiene el módulo de $<1$, lo que contradice la condición en la que las raíces de $q$. Por lo tanto, todas las raíces se encuentran en la unidad de círculo, de modo que las raíces se divide en las raíces reales $\alpha_i=\pm 1$ y raíces complejas $\beta_j$ sobre el círculo unidad y desde el complejo de raíces vienen en pares es de la forma
$$
q(X)=(X-1)^k(X+1)^l\prod_{j\J}|X-\beta_j|^2
$$
Por lo $q(2)=3^l\prod_j|2-\beta_j|^2>0$. También se $q(3)$ no puede ser cero, lo cual responde a $(2)$. La fórmula $\prod\alpha_i=(-1)^{n+1}$ hace $q(0)=(-1)^k=-1$, lo $k>0$ e impar, lo que implica $q(1)=0$.
Resumiendo: (1), (3) y (4) son verdaderas y el opuesto de (2) es verdadera, es decir,$q(3)\neq 0$. Tenga en cuenta también que cada polinomio de la forma anterior con $l>0$ satisface las condiciones, así que esto también le da a todos los posibles $q$'s.
Comentario: Esto no es en contraste con Tomas de respuesta. La diferencia aquí es que Tomás no tomar en consideración las raíces complejas de $q$, en esta respuesta que yo hago.
