Mostrando el camino conectado matrices de un grupo $G$ es un subgrupo normal

Question

Deje $G$ ser un subgrupo de $GL_n(\Bbb{R})$. Definir $$H = \biggl\{ A \in G \ \biggl| \ \exists \ \varphi:[0,1] \to G \ \text{continuous such that} \ \varphi(0)=A , \ \varphi(1)=I\biggr\}$$ Show that $H$ is a normal subgroup of $G$

En este post, las respuestas no son demasiado avanzados (colectores) o se consideran una exageración. Yo estaba tratando de seguir el usuario jarra de sugerencias, pero no puedo entender cómo hacer uso de $\phi_A(x) = AxA^{-1}$. Creo que tengo la misma confusión como el OP-quiero demostrar que para todos los $A \in G$ y para todos $M \in H$, $AMA^{-1} \in H$ -- pero yo estoy luchando mucho la conexión de la idea de un subgrupo normal con una función continua (o ruta).

Podría alguien por favor ampliar las sugerencias proporcionadas en el post vinculado?

Answer 1

Deje $H$ ser el camino-componente conectado de $I$$G$.

• Primero, tengamos en cuenta que el $H$ no está vacío.

• Supongamos que $A$$B$$H$, por lo que hay mapas de $\sigma:I\to G$ $\tau:I\to G$ tal que $\sigma(0)=I$, $\sigma(1)=A$, $\tau(0)=I$ y $\tau(1)=B$. Considerar el mapa de $$\lambda:t\in I\longmapsto \sigma(t)\tau(t)^{-1}\in G.$$ Usted puede demostrar que

  • el mapa de $\lambda$ es continuo, y que
  • $\lambda(0)=I$ $\lambda(1)=AB^{-1}$.

  Si sigue de esto que $AB^{-1}$$H$.

• Supongamos $A$ está en el camino-el componente conectado,$H$$I$, por lo que no es un camino de $\sigma:I\to G$ tal que $\sigma(0)=I$$\sigma(1)=A$.

  Vamos ahora a $B\in G$ y considerar el mapa de $$\tau:t\in[0,1]\longmapsto B\sigma(t)B^{-1}\in G.$$, Usted debe verificar que

  • es continua,

  • su valor en$0$$I$, y su valor en $1$$BAB^{-1}$.

  Se deduce de todo esto que $BAB^{-1}$ es también un elemento de $H$.

Ahora a la conclusión de que $H$ es un subgrupo normal.