¿En qué casos es viaje de retroceso con la gavilla de Hom?

Question

Suponga $f: (X,\mathcal{O}_X)\rightarrow (Y,\mathcal{O}_Y)$ es una de morfismos de localmente anillado espacios y E y F son dos localmente libre de $\mathcal{O}_Y$-moduels de rango finito.

Me preguntaba si tenemos el siguiente isomorfismo en este caso: $f^{*}\mathcal{H}om_Y(E,F)\cong \mathcal{H}om_X(f^{*}E,f^{*}F)$?

Mi idea era la siguiente: vamos a $G$ $\mathcal{O}_X$- módulo, entonces tenemos $Hom(\mathcal{H}om_X(f^{*}E,f^{*}F),G)\cong Hom( f^{*}F\otimes (f^{*}E)^\vee,G)\cong Hom(f^{*}F,\mathcal{H}om((f^{*}E)^{\vee},G))\cong Hom(f^{*}F,f^{*}E\otimes G)\cong Hom(F,f_{*}(f^{*}E\otimes G))\cong Hom(F,E\otimes f_{*}G)\cong Hom(\mathcal{H}om_Y(E,F),f_{*}G)\cong Hom(f^{*}(\mathcal{H}om_Y(E,F)),G)$

Yo que E es localmente libre de rango finito => $f^{*}E$ es localmente libre de rango finito => $\mathcal{H}om(f^{*}E,f^{*}F)\cong (f^{*}E)^{\vee}\otimes f^{*}F$

$f^{*}E$ es localmente libre de rango finito => $(f^{*}E)^{\vee\vee}\cong f^{*}E$

$E$ es localmente libre de rango finito => $f_{*}(f^{*}E\otimes G)\cong E\otimes f_{*}G$ (proyección de la fórmula)

Así Yoneda nos debe de dar $\mathcal{H}om_X(f^{*}E,f^{*}F)\cong f^{*}\mathcal{H}om_Y(E,F)$?

Es mi idea correcta? Si es así, ¿este isomorfismo también tienen en otros casos? Por ejemplo, se sospecha que podría ser verdad para $E$ coherente gavilla y $f$ un piso de morfismos, que se reducen a un hecho conocido que los de álgebra conmutativa

$Hom_A(M,N)\otimes B \cong Hom_B(M\otimes B, N\otimes B)$

en el tallo nivel y $B$ plana $A$-módulo, si tuviéramos un mapa de $f^{*}\mathcal{H}om(E,F)\rightarrow \mathcal{H}om(f^{*}E,f^{*}F)$. Pero, ¿nos alsways tener una gavilla de morfismos entre estos dos poleas en $X$? No puedo parecer para la construcción de un mapa.

Answer 1

$\def\H{{\mathcal Hom}}\def\HH{{\operatorname{Hom}}}$Todo lo que escribió parece correcto para el nivel local gratuita de su caso. A pesar de su fácil pasar por alto las cosas sutiles con este tipo de argumentos, se ve bien para mí.

Para el segundo creo que hay una natural mapa de $f^*\H_Y(E,F) \to \H_X(f^*E,f^*F)$. Voy a definir un mapa de $\H_Y(E,F) \to f_*\H_X(f^*E, f^*F)$ y el uso de la contigüidad con $f^*$ para obtener el mapa deseada.

Deje $U \in Y$ ser abierto. A continuación,$\H_Y(E,F)(U) = \HH(E|_U,F|_U)$$f_*\H_X(f^*E,F^*F)(U) = \HH(f^*E|_{f^{-1}(U)}, f^*F|_{f^{-1}(U)})$. A continuación, tomamos nota de que

$$f^*E|_{f^{-1}(U)} = f|_{f^{-1}(U)}^*\a la izquierda(E|_{f^{-1}(U)}\right)$$

y $f^*|_{f^{-1}(U)}$ es un functor de gavillas de $\mathcal{O}_U$ módulos de a $\mathcal{O}_{f^{-1}(U)}$ módulos. De este modo obtenemos una natural mapa de las poleas de los módulos de $U$ de functoriality:

$$\HH(E|_U, F|_U) \a \HH\left(f|_{f^{-1}(U)}^*\a la izquierda(E|_{f^{-1}(U)}\right), f|_{f^{-1}(U)}^*\left(F|_{f^{-1}(U)}\right)\right) = \HH(f^*E|_{f^{-1}(U)}, f^*F|_{f^{-1}(U)}).$$

Todo está debidamente bastante natural que se debe conmutar con los mapas de restricción para las inclusiones $V \subset U$ dando un mapa de poleas $\H_Y(E,F) \to f_*\H_X(f^*E, f^*F)$.

Ahora que tenemos la mapa $f^*\H_Y(E,F) \to \H_X(f^*E,f^*F)$, creo que tenemos $X$ $Y$ a los regímenes no sólo a nivel local rodeada de espacios. A continuación, se puede reducir a la comprobación de que este es un isomorfismo sobre afín cubre, en cuyo caso se reduce a la isomorfismo de álgebra conmutativa. Sin tener $X$ $Y$ ser esquemas no creo que podamos hacer que el argumento de la obra debido a $\H$ no conmuta con la toma de tallos por eso no podemos comprobarlo en locales de los anillos.

EDIT: Ver los comentarios de abajo, al parecer, el argumento funciona en cualquier rodeada de espacio como de largo como $E$ es de finito de presentación.