Normalizador de G como un subgrupo de S_G

Question

Si tomamos $G$ a ser un grupo, podemos ver a un subgrupo de $S_G$ por Cayley del teorema (estamos considerando a la acción izquierda).

A continuación, el centralizador de $G$ $S_G$ es todos los bijections $f$ tal que $f(xy) = xf(y)$ y no es difícil ver que esto es de hecho el derecho de las traducciones. En otras palabras $C(G) = G$.

Pero ¿cómo se hace para calcular el normalizador de N(G)? Sigo leyendo que debería ser $G \rtimes Aut(G)$ pero no veo donde está eso. ¿Cómo hace uno para terminar con un semidirect producto?

Cualquier conocimiento podría ser útil. Gracias!

Answer 1

Considerar el mapa de $N(G)$ $Aut(G)$que asigna a cada elemento de la automorphism que induce. El núcleo de este mapa es la normalización de los elementos que no inducen ningún trivial automorphism, es decir,$C(G)$. Como es fácil de describir $Aut(G)$ también como un subgrupo de $N(G)$, obtenemos un semidirect la estructura del producto $C(g)\rtimes Aut(G)$.

Como usted ha dicho, tenemos que $C(G)$ es isomorfo a $G$, pero no es igual a $G$, que es el $G$ en esta semi directa del producto es diferente del real $G$.

Answer 2

En primer lugar, establecer $C(G)\cong G$, vamos a $\sigma\in C(G)$. A continuación, $\sigma(1)=g$ algunos $g\in G$, y $$\sigma(x)=\sigma\lambda_x(1)=\lambda_x\sigma(1)=\lambda_x(g)=xg$$ donde (como se indicó anteriormente $\lambda_x\in S_G$ está a la izquierda de la multiplicación por $x$, que es la imagen de $G$$S_G$). Esto implica que $\sigma=\rho_g$ está a la derecha de la multiplicación por $g$$C(G)\cong G$.

A ver que $N(G)\cong G\rtimes\mathrm{Aut}(G)$, observamos que tanto en $G$ $\mathrm{Aut}(G)$ son subgrupos de $N(G)$, $G$ normal. Desde $G\cap\mathrm{Aut}(G)=\{1\}$ (a la izquierda de la multiplicación por $x$ no es un automorphism menos $x=1$), tenemos inmediatamente que $$G\rtimes\mathrm{Aut}(G)\cong G\mathrm{Aut}(G)\leq N(G).$$

Ahora vamos a probar la igualdad. Por comodidad vamos a escribir $x$$\lambda_x$. Deje $\sigma\in N(G)$$x\in G$. A continuación, $\sigma x={\phi_\sigma(x)}\sigma$ algunos $\phi_\sigma\in S_G$. De hecho, $\phi_\sigma\in \mathrm{Aut}(G)$ desde \begin{align*} {\phi_\sigma(xy)}\sigma=\sigma{xy}={\phi_{\sigma}(x)}\sigma y=\phi_\sigma(x){\phi_{\sigma}(y)}\sigma. \end{align*} Ahora, definir $\Phi:N(G)\to \mathrm{Aut}(G)$$\Phi(\sigma)=\phi_\sigma$. A continuación, $\Phi$ es claramente un homomorphism desde $$ \phi_{\sigma\tau}(x)(\sigma\tau)=(\sigma\tau)x=\sigma\phi_{\tau}(x)\tau =\phi_\sigma(\phi_\tau(x))\sigma\tau. $$ Por otra parte, para $\sigma\in\mathrm{Aut}(G)$, $\phi_\sigma=\sigma$, así que el mapa es surjective. El núcleo de este mapa es $C(G)$, lo $$|N(G)|=|C(G)||\mathrm{Aut}(G)|=|G||\mathrm{Aut}(G)|=|G\rtimes\mathrm{Aut}(G)|.$$

Finalmente, la identificación de $N(G)=G\rtimes\mathrm{Aut}(G)$, tenemos que $$\ker{\Phi}=\{(g,\iota_{g^{-1}})\mid g\in G\}$$ donde $\iota_x$ es el interior de automorphism definido por $x$. Esto se deduce del hecho de que $\rho_g=\lambda_g\iota_{g^{-1}}$ que es la identificación explícita de $G$$C(G)$$S_G$.