Diferentes normas sobre un espacio de productos $X \times Y$

Question

Es bien sabido cómo definir la topología del producto estándar en un espacio del producto $\prod_{i \in I} X_i$ .

Supongamos ahora que $(X,\lVert \, \cdot \, \rVert_{X})$ y $(Y,\lVert \, \cdot \, \rVert_{Y})$ son normalizado espacios y que el espacio $X \times Y$ también está equipado con una norma $\lVert \, \cdot \, \rVert_{X \times Y}$ .

¿Es cierto que todas las normas sobre $X \times Y$ ¿son equivalentes?

Es bastante fácil demostrarlo si $\lVert \, \cdot \, \rVert_{X \times Y}$ es uno de los p -normas, es decir $\lVert (x,y) \rVert_p = (\lVert x \rVert_X^p + \lVert y \rVert_Y^p)^{1/p}$ . Todas estas normas son equivalentes. Sólo necesitamos saber que todas las normas en un espacio de dimensión finita son equivalentes (en este caso lo usamos para $\mathbb{R}^2$ ).

¿Cómo es el caso general?

Answer 1

No es cierto en general. Cuando el espacio vectorial es finitamente dimensional, todas las normas son siempre equivalentes, pero cuando el espacio tiene una dimensión infinita (por ejemplo, el espacio de las funciones continuas sobre los reales), las normas no tienen por qué ser equivalentes.