¿Cuando es un pseudoinverse de la matriz no negativa?

Question

Considere la posibilidad de una matriz de $A \in \mathbb{R}^{n \times m}, n > m$ independiente con columnas y no negativo entradas.

Considerar el oblicuo pseudo-inversa de a $A$, es decir, la matriz $A^\dagger_B = (B ^\top A)^{-1} B^\cima$ for some $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ such that the inverse $(B^\top A)^{-1}$ existe.

Caracterizar la clase de $B$s para los cuales la matriz $A^\dagger_B$ no cuenta con información negativa.

Editar: Hubo un error tipográfico (ahora corregido) en la versión anterior de este post en la definición de $A^\dagger_B$. $A^\dagger_B$ cumple con las siguientes Moore-Penrose condiciones para la elección de la $B$ tal que el inverso $(B^\top A)^{-1}$ existe.

• (1) $A A^\dagger_B A = A$
• (2) $A^\dagger_B A A^\dagger_B = A^\dagger_B$
• (4) $A^\dagger_B A = I$ es simétrica

La condición

• (3) $AA^\dagger_B$ es simétrica

sólo es cierto para $B=A$, cuando se $A^\dagger_B$ se convierte en el estándar de Moore-Penrose pseudoinverse.

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Soy consciente de los siguientes resultados para el caso especial de $B = A$, es decir, el de Moore-Penrose pseudoinverse: dado un valor no negativo $A$, $A^\dagger$ no es negativo si y sólo si el número de filas de a $A$ (hasta una permutación) compuesto de rango-1 bloques ortogonales uno al otro ("no negativa de Matrices en las Ciencias Matemáticas", A. Berman, R. J. Plemmons, Teorema 5.2).

Me pregunto si la clase de matrices que tengan la propiedad deseada es la más rica en el caso oblicuo.

Answer 1

Resulta que la condición $A^\dagger_B A = I$ junto con la negatividad no implica que no puede tener más de una entrada de cero en cualquier columna de $A^\dagger_B$. Por lo tanto la respuesta para el caso oblicuo es el mismo que el pesudo-inversa de Moore-Penrose habitual.