¿Existen campos y campos ordenados de toda cardinalidad infinita?

Question

No se me ocurre ningún campo de cardinalidad superior a la de los reales. (Se sabe que el proceso de cierre algebraico no aumenta la cardinalidad de un campo infinito).

¿Cuál es la forma más sencilla de dar un ejemplo de un campo (y un campo ordenado) de una cardinalidad específica $\alpha$ ?

Veo que existe el "Campo" de los números surrealistas, pero es una clase propia más que un conjunto (y por lo tanto no tienen una cardinalidad como tal). Sin embargo, parece que hay alguna construcción modificada que da campos propios con la cardinalidad de algún cardinal fuertemente inaccesible.

Answer 1

¿Qué pasa con el campo $\mathbf{Q}\left( \{ T_{i}\;|\; i\in \alpha \} \right)$ donde el $T_i$ son variables formales independientes indexadas por $\alpha$ ?

Answer 2

El Teorema de Lowenheim-Skolem se aplica a campos, campos ordenados, grupos, anillos, monoides, retículos y otras estructuras algebraicas que se axiomatizan mediante axiomas de "primer orden". Muestra que, en cuanto hay un modelo contablemente infinito de uno de estos conjuntos de axiomas, hay modelos de todas las cardinalidades infinitas.

La prueba, intuitivamente, consiste en adosar un gran número de elementos "nuevos" y, a continuación, imponer el menor número de restricciones (es decir, identidades algebraicas) que sea necesario a los elementos "nuevos" para obtener un modelo de la teoría deseada, de forma parecida a la adición de trascendentales a un campo.

Answer 3

Sí, esto se deduce del teorema ascendente de Löwenheim-Skolem (véase wikipedia o cualquier buen libro de lógica matemática). Los axiomas de un campo forman un conjunto finito de axiomas de primer orden.