Matriz 3D multiplicadora

Question

Me preguntaba si es posible multiplicar una matriz 3D (digamos un cubo $n\times n\times n$ ) a una matriz de dimensión $n\times 1$ ? Si es así, entonces cómo. Tal vez usted puede sugerir algunos recursos que puedo leer para hacer esto. Gracias.

Answer 1

Si ve el $n\times n\times n$ como $n$ diferentes $n\times n$ matrices, entonces puede aplicar cada una de ellas a la $n\times 1$ vector, dando como resultado $n$ diferentes $n\times1$ vectores, lo que podría ser visto como un $n\times n$ matriz.

Sin embargo, esto no tendrá propiedades de multiplicación interesantes más allá de las que provienen de la multiplicación regular de matriz-vector.

Answer 2

La multiplicación de las matrices regulares surge de su interpretación como transformaciones lineales. Para una matriz cuadrada se obtiene un mapa $T:V\to V$ (después de haber elegido una base para $V$ .) Dado que el dominio y el rango de $T$ son iguales, puedes componer transformaciones lineales, y esto te da la multiplicación de matrices.

Una matriz cúbica puede corresponder a un mapa lineal $V\to V\otimes V$ ou $V\otimes V\to V$ (o una serie de otras posibilidades como $V\otimes V\otimes V\to \mathbb R$ ). (Como señala Milind, este tipo de cosas se llama tensor, y las diferentes posibilidades corresponden a una colocación diferente de los índices hacia arriba o hacia abajo en el tensor, $t^i_{jk}, t^{ij}_k, t_{ijk}$ etc.

Un $n\times 1$ puede representar un mapa de $V$ a $\mathbb R$ . Así que si piensas en la matriz 3D como un mapa de $V\otimes V\to V$ , entonces puedes componerlo con el mapa $V\to\mathbb R$ . El mapa resultante es un mapa $V\otimes V\to \mathbb R$ que se puede considerar como un $n\times n$ matriz.

Answer 3

Tensores son muy relevantes para tu pregunta, ya que pueden representarse como matrices multidimensionales.

Un producto tensorial de un tensor de orden 3 (el $n \times n\times n$ cubo) y un tensor de primer orden (el $n\times 1$ vector) le dará un tensor de orden 4 (es decir, una matriz de 4 dimensiones).