Poderes que contiene cada dígito igual a menudo

Question

Hay varios que no son triviales poderes que contiene todos los dígitos de la misma frecuencia, por ejemplo

$32043^2$ $2158479^3$ $69636^4$ $643905^5$ $3470187^6$

Una condición necesaria para que una potencia con la propiedad deseada es que la base es divisible por $3$ debido a que el poder debe ser un múltiplo de $9$.

Mis preguntas :

• Hay poderes de $3$,$6$ y $9$ con la propiedad deseada ?
• Hay una cantidad infinita de no trivial de poderes con la propiedad deseada ?
• No he encontrado un $10th$ de la potencia con la propiedad deseada todavía. Hay uno ?

Answer 1

Esto no es una prueba, sino una discusión heurística.

De los $10^{10m} - 10^{10m-1}$ enteros positivos con cifras de $10m$, $\dfrac{9}{10} \dfrac{(10m)!}{m!^{10}} \approx \dfrac{9}{32 \sqrt{5}} m^{-9/2} 10^{10m}$ tienen todos los dígitos igualmente a menudo. Ahora el número de $k$ 'poderes de th con $10m$ dígitos es aproximadamente $(1 - 10^{-1/k}) 10^{10m/k}$, por lo que debemos esperar el número de $k$' th potencias y la propiedad deseada a ser del orden de $10m$ $ m^{-9/2} 10^{10m/k}$ dígitos. En particular, cualquier $k$ allí debe ser infinitamente muchos $k$' poderes de th con la propiedad.

Answer 2

Aquí es un $\frac{1}{3}$ th de una respuesta. Hay una potencia de 10 con la propiedad. Aquí está una lista de las soluciones más pequeño para una potencia dada:

Editar para mantener pequeño el post, ver Jeppes comentario para obtener una lista hasta 24:

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