MoebiusMu producto

Question

Algún tiempo atrás, me pidió esta pregunta acerca de $$\prod _{n=1}^{\infty } n^{\mu (n)}.$$

Recently, I found this numeric convergence: $0.6784223987077668596042536007\puntos$, and when rationalized, found this: $\frac{5040}{7429}$.

Factoring the fraction: $\lbrace\lbrace2, 4\rbrace, \lbrace3, 2\rbrace, \lbrace5, 1\rbrace, \lbrace7, 1\rbrace, \lbrace17, -1\rbrace, \lbrace19, -1\rbrace, \lbrace23, -1\rbrace\rbrace$, where $\lbrace prime, exponente\rbrace$, llegamos a esta secuencia.

Me gusta el hecho de que la secuencia es finito y me pregunto lo que está haciendo en mi fracción.

Is this coincidence? Or, what?

Answer 1

El producto es claramente divergentes (Möbius función toma los valores de $-1,\,0,\,1$ y vamos a multiplicar o dividir por $n$ para un número infinito de $n$), pero podemos observar que : $$\tag{1}\log\left(\prod _{n=1}^{\infty } n^{\mu (n)}\right)=\sum_{n=1}^\infty \mu (n)\log(n)$$ y es bien sabido que (al menos para $\Re(s)>1$) tenemos : $$\tag{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}=\frac 1{\zeta(s)}$$ Esto es cierto también para$s=1$, pero de acuerdo a G. Hardy la prueba de ello (dado por Landau creo) es equivalente a la PNT.

De esto podemos deducir, el uso de $n^{-s}=e^{-s\log(n)}$, y suponiendo que el $(2)$ puede ser extendido por $s\in [0,1)$, que : $$\sum_{n=1}^\infty \mu (n)\log(n)=-\lim_{s\to 0^+} \frac d{ds}\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\,e^{-s\log(n)}=\frac {\zeta'(0)}{\zeta(0)^2}=\frac{-\log(2\pi)/2}{(-1/2)^2}=-2\,\log(2\pi)$$ de modo que, si una respuesta ha de ser siempre, me permito sugerir : $$\prod _{n=1}^{\infty } n^{\mu (n)}=\frac 1{4\pi^2}$$

El método utilizado aquí se denomina función zeta de regularización y se encuentran bastante eficiente para obtener los valores reales de la física (especialmente en QFT).

(Hmmm me doy cuenta ahora, después de su enlace, que la misma respuesta era siempre en MO ; lo siento por la repetición...)