Si $a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\le4$, $$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\ge 3.$$
Mi intento:
A partir de los criterios dados, uno puede fácilmente obtener ese $$(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\le 4\tag{$\clubsuit$}$$
Ahora, traté de Cauchy-Scwartz en los conjuntos de $$\left\{\frac{\sqrt{ab+1}}{a+b},\frac{\sqrt{bc+1}}{b+c},\frac{\sqrt{ca+1}}{c+a}\right\}\text{and}\left\{\sqrt{ab+1}(a+b),\sqrt{bc+1}(b+c),\sqrt{ca+1}(c+a)\right\},$$
y tengo $$\frac{ab+1}{(a+b)^2}+\frac{bc+1}{(b+c)^2}+\frac{ca+1}{(c+a)^2}\ge\frac{(ab+bc+ca+3)^2}{\sum(ab+1)(a+b)^2}\\ \ge\frac{(ab+bc+ca+3)^2}{\sum ab(a+b)^2+4}[\text{ver}\; (\clubsuit)\text{ marcada desigualdad}]$$
Ahora, lo que queda es sólo para probar $$\frac{(ab+bc+ca+3)^2}{\sum ab(a+b)^2+4}\ge 3,$$ i.e. (after some simple arithmetic), $$6ab+6bc+6ca+2a^bc+2ab^2c+2abc^2\ge3+a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2.$$
Ahora, me tiene totalmente atrapado! Incluso Muirhead, no majorise los poderes de la LHS, por lo tanto, cualquier idea......
P. S. Aunque estoy marcado este (álgebra-precálculo), yo no la mente, si alguien utiliza el cálculo. Cualquier tipo de soluciones son bienvenidos, pero aún así, me gustaría precálculo más, ya que es un concurso problema.
