Según la teoría de la relatividad, ¿qué es la fuerza que ejercen dos electrones moverse radialmente separados mutuamente?

Question

Según la teoría de la relatividad, ¿qué es la expresión más general para la fuerza que ejercen dos electrones moverse radialmente separados mutuamente?

Estoy buscando para una función $$F(r(t)),$$ where $F $ is the mutual force and $r (t) $ is the electrons' separation at time $t$.

Nota: la recompensa irá a la derivación de la expresión más general posible, no sólo el caso cuando $\ddot{r}(t)=0$.

Answer 1

La fuerza entre los cargos que se va a cero.

Para ver esto, trabajar en el marco de uno de los cargos. Desde su perspectiva, otro punto de carga se está moviendo rápidamente de distancia, y el campo de una carga en movimiento es más débil a lo largo de la dirección del movimiento, como se muestra a continuación.

Una forma barata de ver esto es pretender que las líneas de campo han sido "longitud contratado". Por arbitrariamente altas velocidades, el campo paralelo a la velocidad se pone arbitrariamente pequeño, por lo que la fuerza se desvanece.

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También podemos ser un poco más cuantitativa. En el laboratorio de marco, dejar que las partículas tienen una velocidad de $v$ y el factor de Lorentz $\gamma$. El campo de una partícula ejerce sobre el otro es $$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (1+\gamma^2 v^2/c^2)^{3/2}} \hat{r}.$$ Tomando el$v \to c$, $\gamma \gg 1$ y hemos $$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (\gamma^2)^{3/2}} \hat{r} \propto \frac{1}{\gamma^2} = 1-v^2/c^2 \propto 1-v/c.$$ donde hemos utilizado los límites varias veces. Así que si usted comienza con enormes velocidades y obtener de ellos el 50% más cerca de la velocidad de la luz, la fuerza se reduce a la mitad.

Answer 2

La solución a esta interesante pregunta ha de implicar tanto a los (a) la distorsión del campo eléctrico de cargas puntuales cuando se mueven casi a la velocidad de la luz y (b) el tiempo (ya que cuanto más esperemos, más aparte los electrones se convierten, por su mutuo de la fuerza se hace más pequeño).

Dado que los electrones se están moviendo a lo largo de la misma línea recta, se puede reducir este problema para encontrar el campo eléctrico a lo largo de un eje (el eje x). También, a partir de su pregunta sólo si la fuerza tiende hacia cero no necesitamos realmente incluyen el movimiento de ambos electrones - se puede calcular la fuerza en la posición central, debido a uno de los electrones y si que tiende a cero, entonces la fuerza sobre el otro electrón también tienden hacia cero (ya que está más lejos de la posición central).

De acuerdo con la ecuación 11.152 de Jackson el libro de la electrodinámica Clásica, el campo eléctrico en x=0, debido a una partícula con carga en $q$ que se mueve en la dirección x distancia desde x=0 con una velocidad de $v_x$ es:

$E_x=-\frac{q}{\gamma^2 (v_xt)^2}$

Como la partícula se aproxima a la velocidad de la luz, $\gamma$ enfoques infinito y por lo que el campo eléctrico se aproxima a cero. El otro electrón se aleja del origen, de modo que el campo en su ubicación también el enfoque de cero. Obviamente, a medida que el tiempo aumenta, hay otro factor que reduce el campo eléctrico en el origen (sine que el electrón se aleja del origen) y esto debe ser cierto incluso en el no-relativista caso de $\gamma \approx1$.

Segunda edición a cuenta para la nueva pregunta de la OP:

Para obtener el campo en la posición de los otros electrones es un poco más complicado. Utilizamos "primos" para indicar variables en un sistema de coordenadas que se mueve con la carga que se mueve a la derecha, y sin imprimación coordenadas se refieren al laboratorio de marco (en la cual los electrones se mueven lejos a la misma velocidad en cualquier dirección). En el marco de la mudanza con un electrón que se mueve a la derecha, el campo eléctrico puede ser encontrado a partir de la gradiente del potencial, la cual es:

$\phi'=q/r'$

y puesto que ya hemos mencionado sólo necesitamos el eje x, podemos tomar $r'=x'$. Por lo $\phi'=q/x'$. El campo eléctrico es entonces (en el marco de cebado):

$E_x'=-\partial/\partial x'(\phi') =-\frac{q x'}{(x'^2)^{3/2}}$

el uso de la transformación de Lorentz $x'=\gamma (x-vct/c)$ en el de arriba te da:

$E_x'=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

Puesto que el campo eléctrico en la dirección del movimiento es que no se ha transformado, $E_x'=E_x$, por lo que

$E_x=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

tenga en cuenta que esta expresión se reduce a la de arriba cuando tomamos $x=0$ como lo hicimos anteriormente. Sin embargo, queremos que el campo en la posición de los otros electrones, que, en el laboratorio de marco, tiene la posición $x=-vt$. La inserción de este en la expresión anterior para el campo da:

$E_x=\frac{q }{4\gamma^2 (vt)^2}$

El factor 4 viene de $(2vt)^2$, y refleja el hecho de que la velocidad relativa de los dos electrones es $2v$.

Tercera edición a cuenta para la nueva pregunta de la OP:

Si los cargos se están acelerando, ya que la fuerza está dirigida a lo largo de un eje solamente, no es necesario incluir la aceleración de un término en el campo de la expresión (véase el tercer término en la ecuación 28.3 de Feynman Vol II). La velocidad de la instantánea marco del resto de la partícula que se mueve a la derecha es $v=v_0+at$ donde $v_0$ es la velocidad en $t=0$ $a$ es su aceleración. Tomamos el resultado derivado de la anterior:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) (x-vt))^{2}}$

y tenga en cuenta que $\gamma=\gamma (v)$. Ahora, la partícula que se mueve a la izquierda tiene una ubicación $x=-at^2/2-v_0 t$. La inserción de estas nuevas expresiones para $v$ $x$ en la ecuación anterior se obtiene:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) ((-at^2/2-v_0 t)-(v_0+at)t))^{2}}$

lo que se reduce a la no-aceleración caso al $a=0$.