¿Es un subgrupo?

Question

Que $G$ ser un grupo finito, $A$ un su subconjunto y poner $A^{-1}=\{ a^{-1}:a\in A\}$.

¿Lo cierto es que si $A$ es simétrico (es decir, $A=A^{-1}$), $G=AB$ $|AB|=|A||B|$, $B\subseteq G$, entonces el $A$ es un subgrupo de $G$?

Nota: Lo contrario es verdadero, es decir, si $A$ es un subgrupo existe tal subconjunto $B$.

Answer 1

Jajaja Que $G=S_3$, $A=\{(12),(13),(23)\}=A^{-1}$ y $B=\{1_G,(12)\}$. Entonces $A1_G$ (o $A(12)$) consiste en todas las permutaciones impares (o incluso) de $G$. También se cumplen las condiciones de tamaño, pero $A$ no es un subgrupo.

Answer 2

Otro contraejemplo simple es: $G = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $A = \{\overline{0}_6, \overline{1}_6, \overline{5}_6\}$, $B = \{\overline{0}_6, \overline{3}_6\}$.