Palmo y dimensión: un subespacio

Question

Si $A$ es el conjunto finito de vectores linealmente independientes, entonces la dimensión del subespacio generado por $A$ es igual al número de vectores en $A$.

Esto es obviamente cierto. Desde $A$ es un conjunto finito de vectores linealmente independientes y que se extiende por un subespacio, $A$ es una base para el subespacio generado por $A$ y por lo tanto, por definición, la dimensión de un espacio vectorial es igual a la cardinalidad de cualquier base.

Me gustaría ayudar con la escritura el argumento anterior en una forma concisa, de forma precisa con la notación matemática y otro de taquigrafía

En segundo lugar, en general, ¿qué consejos y/o consejo que podría dar, en general, para hacer mis argumentos y pruebas como eficiente (en cuanto a tiempo) como sea posible.

Answer 1

Aquí hay algunos consejos que me siga al escribir las pruebas.

• Escribir en oraciones completas incluyendo signos de puntuación. (Esto parece contradictorio ya que a menudo hay tantos símbolos de matemáticas de las pruebas. Pero los símbolos tienen exacta de los significados de las palabras. Por ejemplo, $\exists$ significa que "no existe". En cualquier lugar donde veas $\exists$, en su mente se puede reemplazar el símbolo con "existe". De esta manera, la matemática de las pruebas deben ser apartados de completar frases con signos de puntuación.)
• Escribir las definiciones pertinentes del primero. A menudo, la prueba es simplemente mostrando que las circunstancias coinciden con las definiciones.

Creo que estás tratando de probar la declaración: si $A$ es un conjunto finito de vectores linealmente independientes, entonces la dimensión del subespacio generado por $A$ es igual al número de vectores en $A$.

Aquí está una prueba: La dimensión de un subespacio vectorial es el tamaño de cualquiera de sus bases. (Recordemos el teorema de todas las bases de un subespacio vectorial tienen el mismo tamaño). Una base de un subespacio vectorial $V$ es un conjunto de vectores linealmente independientes que se extiende en el subespacio. Estamos dado que el $A$ es un conjunto de vectores linealmente independientes. Por lo tanto, $\text{Span}(A)$ es un subespacio, y su dimensión es $|A|$ (el número de elementos en $A$).