Lanzar la moneda $2n$ veces, gana si sale cara $>n$ veces

Question

Tenemos una moneda con probabilidad de cara $p = 0.48$ Lo tiramos $2n$ veces y ganar, si la moneda sale cara más de $n$ tiempos. Podemos elegir $n$ . Qué $n$ ¿debemos elegir?

Answer 1

Con $n=0$ nuestra probabilidad de ganar es $0$ . Con $n=1$ es $p^2$ . Con $n=2$ Es decir, es $p^4+4p^3(1-p)=p^3(4-3p)$ etc. Se puede seguir computando explícitamente, pero ¿cuándo se puede parar?

Obsérvese que el valor esperado es $E[X]=0.96n$ la varianza es $V[X]=0.4992n$ y necesitas al menos $n+1$ cabezas. Ahora use la desigualdad de Chebyshev para obtener un límite.

Answer 2

Por lo que $n$ ¿es esto un máximo? Alguien más avispado que yo tendrá que decírselo... $$\sum\limits_{i=n+1}^{2n}{{2n}\choose{i}}.48^{i}.52^{2n-i}$$

Answer 3

$n$ de hecho, parece estar alrededor de $11$ o $12$ o $13$ . Así que a falta de otra cosa, decidí utilizar el teorema de la integral de De Moivre - Laplace. Esto me da esa integral: $$\frac{1}{2\pi} \int_{0.0566139 \sqrt{n}}^{1.57359 \sqrt{n}}e^{-x^2/2} dx$$ Pero el error estimado para $n$ con valores en torno a $12$ es bastante alto: alrededor de $0.3$ más o menos. Pero por lo que cuenta Wolfram|Alpha, esta función de $n$ parece convexo, lo que significa que podemos comprobar manualmente la respuesta, insertando valores enteros en la fórmula exacta, que es $$\sum_{i=n+1}^{2n} C_{2n}^{i} 0.48^i 0.52^{2n-i}$$ y ver, en qué puntos nos da la mayor respuesta, que nos da respuesta de 12 o 13. Esta es mi respuesta, no estoy seguro de que sea correcta.

Answer 4

El óptimo $n$ no es único: para $n = 12$ y $n = 13$ se alcanza una probabilidad máxima: $$P(n) = \sum_{k=n}^{2n} \binom{2n}{k} (0.48)^k (1-0.48)^{2n-k}$$ tiene valor $$\frac{1222235987447480383482148518100992}{3552713678800500929355621337890625}$$ para estos dos casos, según lo encontrado por la búsqueda informática. Es fácil ver que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P(n) = 0$ por lo que existe al menos un valor máximo para alguna $n$ .