$\ln(x^2)$ vs $2\ln x$

Question

Estos dos se supone que es equivalente a causa de las propiedades de los logaritmos, pero los dominios de $\ln(x^2)$ $2\ln x$ parecen diferentes a mí. Por ejemplo, si yo sustituto $x=-1$ en el primer, tengo 0. Pero en la segunda, me da un no-respuesta real.

¿Por qué es esto? Los dominios de estas funciones, cuando gráficamente parece diferente. Pero todo lo que me han enseñado hasta ahora, y la mayoría de las cosas que puedo encontrar en la web, no se explica esta contradicción. Normalmente, considero que la propiedad $\ln(a^b) = b \ln a$ a ser verdad...

Yo sólo soy un senior en la escuela secundaria, actualmente en Cálculo I, pero espero que la explicación no sea demasiado fuera de la esfera de mi comprensión. Pero incluso si es así, todavía me gustaría saber la respuesta.

Gracias de antemano

Answer 1

Estás en lo correcto. En los reales, puede definir $\ln(x^2)$ para todos los de $\mathbb{R}$ excepto el 0, mientras que $2\ln x$ sólo está definida para $x \gt 0$. Donde son definidos, de acuerdo. La forma correcta de escribir la igualdad es $\ln (x^2)=2\ln |x|$, en cuyo caso los dominios de acuerdo. La gente consigue descuidado a veces.

Answer 2

Cuando la identidad se expresa como $\ln(a^b)=b\ln(a)$, se supone que $a$ es positivo. Por lo tanto, independientemente de si es posible extender $\ln(a^b)$ a un mayor rango de $a$ valores especiales para las elecciones de $b$, esta es una identidad válido con esta restricción del dominio.

Si el caso en que $b$ es un entero par fueron señalados, entonces sería bueno señalar que la identidad puede ser generalizado a $\ln(a^b)=b\ln(|a|)$ para todos los distinto de cero $a$. Pero el más general (de dominio restringido) de la identidad permite a $b$ a ser cualquier número real, incluyendo no sólo los enteros impares, pero las fracciones, e incluso los números irracionales. En la mayoría de los casos, $\ln(a^b)$ no se define en un ordinario (real) sentido al $a$ es negativo.

Para definir adecuadamente una función, su dominio debe ser especificado. Las cosas no siempre se hace correctamente. Por ejemplo, una pregunta típica utilizada en precálculo clases da una fórmula de definición de una función, como $\displaystyle{f(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-2}}$, y pide al estudiante a encontrar "el dominio". La idea es que se supone que tienes que averiguar todos los números posibles que se pueden conectar a la fórmula de que el resultado se define como un número real. Este es un buen ejercicio, ya que puede ayudar a aumentar la familiaridad con las funciones y prueba de álgebra habilidades, pero puede ser engañoso. El dominio puede depender del contexto, y quien es la definición de la función puede decidir. E. g., si $f$ es la función definida en $(0,\infty)$$f(x)=\ln(x^2)$, luego me han estipulado que el dominio de $(0,\infty)$. La identidad de $f(x)=2\ln(x)$ es válido en este dominio.

Sin embargo, estoy totalmente de acuerdo con usted y Ross que si estás empezando con $\ln(x^2)$ sin un contexto que implica que $x$ es positivo, entonces el caso negativo tiene que ser tomado en cuenta, y por lo tanto, más en general, la identidad de $\ln(x^2)=2\ln(|x|)$ sería necesario.

Del mismo modo, en la identidad de $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, se supone que $a$ $b$ son positivos. El lado izquierdo también se puede definir cuando se $a$ $b$ son negativos, y, en general, tendría $\ln(ab)=\ln(|a|)+\ln(|b|)$ siempre $a$ $b$ tienen el mismo signo. El hecho de que $\ln(ab)$ se puede definir al $\ln(a)$ $\ln(b)$ no conduce a la denominada "soluciones extrañas" en precálculo problemas en la solución de ecuaciones logarítmicas, si uno no es cuidadoso acerca de restricciones de dominio.

Problema de ejemplo: Resolver la ecuación de $\ln(x)+\ln(x+1)=-10$.

Solución: Utilizando la identidad de $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$, la ecuación se convierte en $\ln(x^2+x)=-10$. Exponentiating rendimientos $x^2+x=\frac{1}{e^{10}}$. La solución de la ecuación cuadrática, $x=-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+4/e^{10}}$. Pero espera, uno de estos no funciona en la ecuación original, debido a que $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1+4/e^{10}}$ es negativo. Esta "solución" es una solución a $\ln(x^2+x)=-10$, pero no a la ecuación original, debido a que $\ln(x^2+x)$ tiene mayor dominio de $\ln(x)+\ln(x+1)$.

(También, usted puede ver que no sólo debe ser una solución a la ecuación original, debido a que $\ln(x)+\ln(x+1)$ es siempre creciente, donde se define.)