¿Es la relación $P(n) \sim \frac{1}{2^n}$ya conocido?

Question

Disculpas de antemano si hay una violación de las reglas/leyes aquí, como yo no soy un matemático.

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{\pi^{n}}{\zeta(n)}P(n) \right)^{\frac{1}{n}} &= \frac{\pi}{2} \\ \\ \lim_{n\to\infty} \left( \pi^{n}P(n) \right)^{\frac{1}{n}} &= \frac{\pi}{2} \hspace{2cm}\lim_{n\to\infty} \zeta(n) = 1 \\ \\ \lim_{n\to\infty} \pi P(n)^{\frac{1}{n}} &= \frac{\pi}{2} \\ \\ \lim_{n\to\infty} P(n)^{\frac{1}{n}} &= \frac{1}{2} \\ \\ P(n) &\sim \frac{1}{2^n} \end {Alinee el} $$

Donde $P(n)$ es la función de zeta prime $$P(n) = \sum_p \frac{1}{p^n}$ $

Cálculos numéricos (de WolframAlpha) sugieren que esto es cierto:

\begin{align*} P(500) &\approx 3.054936363499604682051979393213617699789402740572326663... × 10^{-151} \\ 2^{-500} &\approx 3.054936363499604682051979393213617699789402740572326663... × 10^{-151}\end{align*}

Answer 1

Esta no es una respuesta pero es demasiado largo para un comentario.

Supongo que usted podría estar interesado por este papel , donde el autor propone $$\frac 1{P(n)}=2^n-\big(\frac 43\big)^n+\big(\frac 89\big)^n-\big(\frac 45\big)^n-\big(\frac {16}{27}\big)^n-\big(\frac 47\big)^n+2\big(\frac {8}{15}\big)^n+\big(\frac {32}{81}\big)^n+\cdots$$

Para $P(10)$, la expansión (trunca a los términos aquí) da un error de $\approx -6.35 \times 10^{-12}$ $P(10)\approx 0.000993604$ está ya muy cerca de a $2^{-10} \approx 0.000976563$.

Más empírica : la generación de los valores exactos de $P(n)$ $10\leq n \leq 100$ y la realización de una regresión no lineal, se puede conseguir $$P(n)\approx 0.500741^n$$ the standard error on the tuned parameter being $0.000021$.