Integrar

Question

Esta integración trató de resolver mediante el uso de esta regla $$ \displaystyle\int \limits^{a}_{0}f\left( x\right) dx = \int \limits^{a}_{0}f\left( a-x\right) dx$$. The integration is $% $ $\displaystyle\int \limits^{\pi }_{0}\frac{x}{2-\tan ^{2}\left( x\right) } dx $probé alfa wolfram ponerlo era inútil... ¿Hay alguna sugerencia o solución?. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Esta integral es divergente, ya que por la expansión de Taylor, como $x \to \frac\pi4$, el integrando se comporta como

$$ \frac{x}{2-\tan ^ {2} \left (x\right)} = \frac{\pi} {16 \left (x-\frac {\pi} {4} \right)} + \frac {\pi} {8}-\frac14+O \left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Tal vez hay un error en la pregunta. A menos que usted trata con el valor principal de Cauchy.

Answer 2

Que $$I=\int_{0}^{\pi}\frac{x}{2-\tan^2 x}dx\tag 1$ $ ahora, usando la regla de integración, obtenemos %#% $ #% $ $$I=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)}{2-\tan^2 (\pi-x)}dx$ ahora, agregando (1) y (2), $$I=\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)}{2-\tan^2x}dx\tag 2$$$I+I=\int_{0}^{\pi}\frac{x}{2-\tan^2x}dx+\int_{0}^{\pi}\frac{(\pi-x)}{2-\tan^2x}dx$$ $ $ $2I=\int_{0}^{\pi}\frac{\pi}{2-\tan^2x}dx$ $ usando $$I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{2-\tan^2x}$, ahora, tenemos $\int_{0}^{2a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\iff f(2a-x)=f(x)$ $ $$I=\frac{\pi}{2}(2)\int_{0}^{\pi/2}\frac{dx}{2-\tan^2x}$ $ $$=\pi\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sec^2x dx}{\sec^2x(2-\tan^2x)}$$$=\pi\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sec^2x dx}{(1+\tan^2x)(2-\tan^2x)}$\tan x = t\implies \sec^2x dx = dt $ Now, let $% $ $ $

%#% $ De #% espero que os puede solucionar más mediante el uso de fracciones parciales.

Answer 3

El $\displaystyle x\mapsto f(x)=\frac{x}{2-\tan^2x}$ de la función es discontinuo en $x_1=\arctan\sqrt2 \in(\pi/4,\pi/2)$ y $x_2=\pi-x_1$, y cerca de $x_1$ tenemos $$ 2-\tan^2x=-6\sqrt2(x-x_1)-21(x-x_1) ^ 2 + \ldots. $$ Sigue ese $$ f (x) \sim-\frac {1} {6\sqrt2}-\frac {x_1} {6\sqrt2}(x-x_1) ^ {-1} + \ldots $$ por lo tanto la integral \int_0^{x_1 $$} f (x) \,dx $$ es divergente, y es así el integral $\displaystyle \int_0^\pi f(x)\,dx$.