evaluar la integral

Question

Evaluar la integral de:

$$\int_0^{\infty} \frac{x \cdot \sin(2x)}{x^2+3}dx$$

La manera de plantear este problema es

$$\int_0^{\infty} \frac{x \cdot \sin(2x)}{x^2+3}dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z \cdot e^{i2z}}{(z - i\sqrt{3})(i+i\sqrt{3})}dz$ $ y $$ \text{Res}_{i\sqrt3}(f(z)) = \frac{e ^{-2\sqrt3}}{2\sqrt3}$ $ entonces, la integral será: $$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{z \cdot e^{i2z}}{(z - i\sqrt{3})(i+i\sqrt{3})}dz = \frac{1}{2} \cdot 2\pi i \cdot \frac{e^{-2\sqrt3}}{2\sqrt3} = \frac{\pi i e^{-2\sqrt3}}{2\sqrt3}$ $

¿Es correcto mi planteamiento? ¿Si no, alguien me puede mostrar? Lo siento porque acabo de conocer el teorema del residuo y no sé si mi trabajo es correcto o no.

Answer 1

Aquí le damos otro enfoque:

$$f(a)=\int_0^{\infty} \frac{x \cdot \sin(ax)}{x^2+3}dx$$ take a Laplace transform with respect to $ un$ para obtener\begin{align} \mathcal{L}(f(a))&=\int_0^{\infty} \frac{x^2}{(x^2+3)(x^2+s^2)}dx\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt3+2s} \end {Alinee el} ahora tomar una inversa de Laplace para obtener $$f(a)=\frac{\pi}{2} e^{-\sqrt{3} a}$ $

Por lo tanto $f(2)=\frac{\pi}{2} e^{-2\sqrt{3}}$.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $$\sin(2z)=\Im (e^{2iz})$ $ en segundo lugar, el residuo es incorrecto, ha olvidado el $z$ en el numerador: $$\text{Res}_{i\sqrt{3}}(f(z))=\frac{P(z).e^{i2z}}{Q'(z)}$ $

$$\text{Res}_{i\sqrt{3}}(f(z))=\frac{z.e^{i2z}}{2z}$$ $$\text{Res}_{i\sqrt{3}}(f(z))=\frac{e^{i2z}}{2}$$

Por lo que es el integral $\text{I}$: $$\text{I}=\Im(2i\pi\text{Res}_{i\sqrt{3}}(f(z)))=\Im(2i\pi\frac{e^{-2\sqrt{3}}}{2})=\pi\frac{e^{-2\sqrt{3}}}{2}$ $