Pregunta sobre el multiplicador de Lagrange y mi intento

Question

La pregunta es Encontrar los extremos de $xyz$ cuando $x+y+z=a$ a>0. Estrato con el método habitual del multiplicador de Lagrange

Yo obtengo

$f_x$ = $yz$ + $\lambda$ =0

$f_y$ = $xz$ + $\lambda$ =0

$f_z$ = $yz$ + $\lambda$ =0

Ahora a partir de las tres ecuaciones anteriores de i multiplicar primero por $x$ y el segundo por $y$ y el tercero por $z$ Yo obtengo

$f_x$ = $xyz$ + $\lambda(x)$ =0

$f_y$ = $xyz$ + $\lambda(y)$ =0

$f_z$ = $xyz$ + $\lambda$ (z) =0

Es evidente que a partir de estos valores de equiparación de $xyz$ . me sale $x=y=z$ Y así he resuelto la pregunta y es coherente mi respuesta con el libro de texto

PERO, si manipulo las ecuaciones de una manera como si igualara los valores de $\lambda$ Yo obtengo

$yz=xz=xy$

Ahora tomo $yz=xz$ Esto implica $z=0 or x=y$ .

Si tomo $z=0$ y poniendo las otras dos ecuaciones obtengo $xy=0$ lo que significa que o bien x=0 o bien y=o.Digamos que tomo x=0 y ahora poniendo en la ecuación de la restricción obtengo $y=a$ así que tengo $(0,a,0)$ No sólo esto, sino que resolviendo otras ecuaciones como ésta obtengo $(0,a,0) , (a,0,0) , (0,0,a) , ((a-1)/2,(a-1)/2,1)$ pero esto no es consistente con el libro de texto. puede alguien ayudarme desde aquí. gracias

Answer 1

Debe haber algunas limitaciones en $x,y,z$

Sin utilizar el multiplicador de Lagrange

Suponiendo que $x,y,z\gt0$

Uso de AM-GM

$$\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}$$

$$x+y+z=a\ge3\sqrt[3]{xyz}$$ $$\frac{a^3}{27}\ge xyz$$ y la igualdad se produce cuando $x=y=z$

Answer 2

Has obtenido el resultado correcto con el método del multiplicador de Lagrange:

$xy = yz = zx = -\lambda$

Aquí $\lambda$ es un parámetro distinto de cero. De ello se deduce que $x, y$ y $z$ no puede ser cero. La única solución es $x = y = z = \sqrt{-\lambda}$ . Y por lo tanto $x = y = z = a/3$ .