Este es un caso típico de un problema que está suficientemente claro, físicamente hablando, pero matemáticamente desordenado. Donde el rigor de los resultados se folkloristically empleado para lograr algún resultado que, en realidad, tendría mucho más cuidado a la hora de derivar de ello... Pero es de suponer que, matemática detalles no iba a cambiar la imagen física. Aquí la diferencia entre la física teórica y la física matemática evidentemente muestra.
En realidad, el teorema de unicidad no es correctamente utilizada en el ejemplo que mencionas. Como destaca en su declaración inicial, la singularidad de la propiedad tiene al $\Omega$ es un abierto y acotado subconjunto de $\mathbb R^n$ $\varphi$ es continua en a $\overline{\Omega}= \Omega \cup \partial \Omega$ e es $C^2(\Omega)$ la satisfacción de Poisson de la ecuación de $\Delta \varphi = \rho$ $\Omega$ sí.
(La prueba de la unicidad es una consecuencia trivial de un célebre teorema sobre funciones armónicas $\phi$$\Omega$, es decir, las funciones de verificación de $\Delta \phi =0$$\Omega$, que son continuas en a $\overline{\Omega}$. Que el teorema establece que, si $\Omega$ se abra y se cierre es compacto, $\max_{\overline{\Omega}} |\phi|$ se alcanza en un punto de $\partial \Omega$. El pensamiento de $\phi$ como la diferencia de dos soluciones de la ecuación de Poisson de llenado de las mismas condiciones de contorno, la singularidad de la propiedad fácilmente surge.)
Al $\Omega$ es no acotado, como en el ejemplo mencionado, donde $\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$, se debe agregar requisitos adicionales sobre el comportamiento de $\varphi$$||(x,y, z)|| \to +\infty$, y hay un número de posibilidades.
Sin embargo, el mencionado ejemplo, sufre por otro problema. En el mencionado singularidad resultado, $\rho$ es continua debido a $\Delta \varphi$ es.
En el ejemplo que estamos considerando en lugar de $\rho$ es singular, propiamente hablando, es una delta de Dirac. Existen varias posibilidades para tratar con este problema.
La más simple es la sustitución del punto de carga con un determinado esféricamente simétrica la distribución, con cargo total $q$ y encerrados en un almacén de pequeñas esféricas de la región y de forma continua fuga en el límite de la región. En el resto de mi respuesta me asumir.
Otra posibilidad, técnicamente más complicado es quitar el punto ocupado por la carga de $\Omega$. En este caso, la singularidad y el resultado no puede ser explotado como está porque $\Omega$ adquiere otra parte de la frontera, donde el potencial diverge. Otro de los enfoques basados en Verde identidades en lugar de la máxima principio podría aplicarse en este caso.
En este caso en $\Omega$ la carga es $q$ (que es el $\rho$ distribución que usted menciona) con la distancia $d$ $\partial \Omega$ $\varphi=0$ $\partial \Omega$ porque $\partial \Omega$ es un enchufe de la realización de plano. El valor de $\varphi$ $\partial \Omega$ es constante, somos libres para asumir que se es $0$. El verdadero límite de la condición aquí es que $\varphi$ alcanza en $\partial \Omega$, el mismo valor que alcanza para $||(x,y, z)|| \to +\infty$.
Pasemos a considerar la situación en la que dos de los cargos de estancia en el recíproco de la distancia de $2d$ a lo largo de la $z$ eje, centrado en lo que sucede en $\overline{\Omega}$ (no fuera de ella) con respecto a distribuciones de carga y las condiciones de contorno de $\varphi$.
El $\rho$ distribución en la mitad de espacio de $\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$ es el mismo que en el caso anterior: No es la carga en $q$ a pie $d$ desde el avión en $z=0$.
También las condiciones de contorno de $\varphi$ $\partial \Omega$ $||(x,y, z)|| \to +\infty$ son los mismos que para el otro caso: El avión en $z=0$ es equipotenciales en vista de la simetría del problema y el valor de $\varphi$ al respecto es el mismo que el valor de $\varphi$$||(x,y, z)|| \to +\infty$.
Por lo tanto, la aplicación de la singularidad de la propiedad en $\overline{\Omega}$, estamos comprometidos a la conclusión de que el potencial de $\varphi$ en la región de $\Omega \cup \partial \Omega$ es el mismo en ambos casos.
ADDENDUM. De hecho, uno puede usar un argumento derivadas de la teoría de la elíptica regularidad para lidiar con la singularidad de las situaciones donde en una región acotada están presentes punto de cargos descritos por deltas de Dirac. La idea se basa en los siguientes elíptica regularidad resultado.
Si $\phi$ es una distribución de verificación de $\Delta \phi =f$ (en sentido débil) para un liso ($C^\infty$) de la función de $f$, $\phi$ $C^\infty$ función hasta cero a medida.
(Vale la pena subrayar el resultado anterior inmediatamente implica el fantástico hecho de que la armónica de las funciones están siempre $C^\infty$, y no sólo a $C^2$, en realidad es posible demostrar que son reales analítica.)
Este resultado nos lleva a la siguiente teorema de unicidad que se puede mejorar haciendo más débil algunas hipótesis sobre el comportamiento de la función en el "normal" de la frontera.
Teorema. Supongamos $\Omega \subset \mathbb R^n$ es no vacío abierto y $\overline{\Omega}$ es compacto. Deje $p \in \Omega$ y considerar el problema:
$$\Delta \varphi(x) =\rho \quad x \in \Omega \setminus \{p\}$$
con las condiciones de contorno
$$\varphi|_{\partial \Omega} = f$$
donde
$$\varphi \in C^2(\Omega \setminus \{p\}) \cap C^0(\partial \Omega \cup \Omega \setminus \{p\} )$$ and $f \C^0(\partial \Omega)$ and $\rho \C^0(\Omega \setminus \{p\})$ son asignados.
Si tanto $\varphi_1$ $\varphi_2$ son soluciones del problema y $$ \lim_{x\to p} (\varphi_1(x)- \varphi_2(x))=0\:,$$
(donde los límites que puede divergir o no existe, si se considera por separado con el fin de encarnar el caso de un punto de carga en$q$), a continuación,
$$\varphi_1 = \varphi_2\:.$$
PRUEBA. Con la hipótesis, evidentemente $\phi:= \varphi_1-\varphi_2$ es continua en a $\Omega$, por lo tanto se trata de una distribución de funciones de prueba, $h\in C_0^\infty (\Omega)$. Si $B_\epsilon$ es una pequeña bola alrededor de $p$ radio $\epsilon$, mediante la continuidad de la $\phi$, en particular, la integración por partes y la definición de $\Omega_\epsilon := \Omega \setminus B_\epsilon$, tenemos
$$\int_\Omega \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\Omega_\epsilon} \phi \Delta h d^nx =
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon} (\Delta \phi) h d^nx =
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon}(\rho\rho) h d^nx$$ $$= \lim_{\epsilon \to 0^+} 0 = 0\:.$$
Todo lo que significa que $\phi$ es una distribución de resolución de $\Delta \phi =0$ en la distribución sentido. Por lo tanto, en vista de la citada elíptica regularidad de la propiedad, que es una función suave hasta un cero de la medida. Desde $\phi$ es continua en a $\Omega \setminus \{p\}$ y se extiende a una función continua en $p$ (que tiene cero de la medida), $\phi = \varphi_1-\varphi_2$ es una función uniforme en todas partes en $\Omega$. En particular, por la continuidad de la segunda derivados de la suavidad de función extendida $\phi$ verifica $\Delta \phi =0$ en el conjunto total $\Omega$ en el sentido correcto. Por construcción, nos encontramos con una función de $\phi$$C^\infty(\Omega) \cup C^0(\overline{\Omega})$, la satisfacción de $\Delta \phi =0$$\Omega$$\phi =0$$\partial \Omega$. En vista de la norma singularidad resultado, $\phi=0$$\overline{\Omega}$, es decir,$\varphi_1= \varphi_2$$\overline{\Omega}$. QED
