En realidad, hay algunos hiperbólico de los resultados de volumen debido a Francois Costantino que se puede encontrar en su página web
http://www-irma.u-strasbg.fr/~costanti/Papers%20and%20preprints.html
Especialmente los artículos publicados en las Actas de la Londres de Matemáticas de la Sociedad y de la Geometría y la Topología.
También Stavros tiene una interesante conjetura acerca de la Reshitkhin-Turaev invariante de cerrado colectores y el complejo de Chern-Simons invariante, que incluye el volumen.
http://arxiv.org/abs/0711.1716
Stavros idea es formar una generación de función cuyos coeficientes son los Reshetikhin-Turaev invariantes del colector de nivel $r$. La prueba de que el poder de la serie converge en un barrio de cero en el plano y, a continuación, las conjeturas de que el Borel regulador del colector tiene algo que ver con los polos de la continuación analítica.
Más en forma especulativa, usando el estándar de los valores de $q$ $e^{2\pi i/r}$ donde $r\geq 3$ es un número entero, el Reshetikhin-Turaev invariante de tres colector aumenta exponencialmente, donde el exponente es la mitad de la compleja dimensión de su $SL(2,C)$-carácter de la variedad, así que usted no consigue un crecimiento exponencial. Esto significa que el asymptotics de los valores de las constantes son bastante sutiles.
Por otro lado, mediante la selección de otras primitivas $r$-th raíces de la unidad, la positividad de la cuantía de las dimensiones de las representaciones de romper hacia abajo y usted puede conseguir un crecimiento exponencial. El fracaso de la positividad se aborda en Habegger, Masbaum, Vogel y Blanchet gran papel en la Topología en TQFT. De todos modos...
No sé de los resultados de los experimentos sobre el crecimiento de la Reshetikhin-Turaev invariante con tales decisiones. Mi conjetura es que hay cosas interesantes que pasa con la tasa de crecimiento exponencial, que es un reflejo de la geometría de la base del colector.
En una dirección diferente, utilizando el "malo" de los valores de $q$ como en el anterior, Gregor Masbaum, Jorgen Anderson y Kenji Ueno fueron capaces de recuperar la traducción de la longitud de un elemento de la clase de asignación de grupo de una superficie plana con cuatro componentes del borde en Teichm\"{u}llenado el espacio de la representación en el espacio de estado asignados a la superficie por la TQFT con esquinas que subyacen a la Reshetikhin-Turaev invariante. Se obtiene como la tasa de crecimiento exponencial de la traza de la inducida por morfismos.
Véase, por ejemplo:
Andersen, Jørgen Ellegaard; Masbaum, Gregor; Ueno, Kenji Topológico de la teoría cuántica de campos y la de Nielsen-Thurston clasificación de $M(0,4)$. De matemáticas. Proc. Cambridge Muerte. Soc. 141 (2006), no. 3, 477 488--
No sólo el volumen de la conjetura no ha sido resuelto, es sólo la punta del iceberg cuando se trata de la detección de la geometría clásica de semiclásica límites.
