Comprobación de mi trabajo para $21^{100}-12^{100}$ modulo $11$

Question

Pregunta 1: Es $21^{100}-12^{100}$ divisible por $11$ ?

Mi trabajo: Nota: $$\begin{align*} & \color{red}{21^{100}}\equiv10^{100}\equiv 100^{50}\equiv1^{50}\equiv1 \mod 11\\ & \color{blue}{12^{100}}\equiv 1^{100}\equiv 1\mod 11\end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*}\color{red}{21^{100}}-\color{blue}{12^{100}}\equiv 1-1\equiv 0\mod 11\end{align*}$$ Por lo tanto, $21^{100}-12^{100}$ es divisible por $11$ .

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Pregunta real:

1. ¿Se sostiene mi trabajo? ¿Es lógico y razonable?
2. ¿Hay alguna forma más rápida de resolver este problema?

Soy muy nuevo en aritmética modular (es decir, acabo de aprenderla). $10$ hace minutos) así que consejos sobre un libro sencillo donde pueda aprender un poco más en profundidad cosas sobre aritmética modular ¡ayuda mucho!

Answer 1

Un enfoque más sencillo para este tipo de problemas es hacer uso de Pequeño_teorema_de_Fermat que dice, para cualquier número entero $a$ ,
$a^{p-1}\equiv 1 \mod{p}$
si $p$ es primo y $gcd(a,p)=1$

De este modo, podemos resolver el problema del siguiente modo.

$21^{11-1}\equiv 1 \pmod {11}\\ 21^{10}\equiv 1 \pmod {11}\\ 21^{100}\equiv 1 \pmod {11} \cdots(1)$

$12^{11-1}\equiv 1 \pmod {11}\\ 12^{10}\equiv 1 \pmod {11}\\ 12^{100}\equiv 1 \pmod {11} \cdots(2)$

Por lo tanto $21^{100}-12^{100} \equiv 0 \pmod {11}$

Answer 2

Su cálculo parece correcto. Sería más convencional (y un poco menos de trabajo) escribirlo como: $$ 21\equiv -1 \pmod{11} \qquad\text{and}\qquad 12\equiv 1 \pmod{11} $$ así que $$ 21^{100} - 12^{100} \equiv (-1)^{100} - 1^{100} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{11} $$ desde $-1$ a una potencia par es siempre $1$ .

Answer 3

$$\begin{align} 21^{100} - 12^{100} & \equiv (11 \times 2 - 1)^{100} - (11 + 1)^{100} \\ & \equiv (0 \times 2 - 1)^{100} - (0 + 1)^{100} \\ & \equiv (-1)^{100} - 1^{100} \\ & \equiv 1 - 1 \\ & \equiv 0 \pmod {11} \end{align}$$

Answer 4

$21^{100}-12^{100}\equiv21^0-12^0\equiv0($ mod $11)$

desde

$21^{2k}\equiv12^{k}\equiv1($ mod $11)$