poderes de $\frac{1+\sqrt a}2$

Question

Para cualquier a que no es un cuadrado perfecto, vamos a $x=\frac{1+\sqrt a}2$.

$x^n$ puede escribirse de forma única como $b_nx+c_n$, donde b y c son racionales.

Aparte de $a=0, a=1, a= 1 \pm 2^m$$m>2$, hay otros valores de $a$ que $b$ o $c$ es un número entero por un número infinito de $n$? Si no, ¿hay límites superiores en los valores de n para los que $b$ o $c$ es un número entero?

e.g $a=7$

$\\b \ c\\ 0 \ 1\\ 1 \ 0\\ 1 \ \frac{3}2\\ \frac{5}2 \ \frac{3}2\\ 4 \ \frac{15}2\\ \frac{23}2 \ 6\\ \frac{35}2 \ \frac{69}4$

$b_n=b_{n-1}+c_{n-1}$ $c_n=\frac{a-1}4b_{n-1}$

Answer 1

Si $a \equiv 5$ ($\bmod 8$) entonces esto sucede infinitamente muchas veces. Esto sigue de la relación $x^2 = x + \tfrac{a-1}{4}$ y $\tfrac{a-1}{4}$ es impar. Supongamos entonces $x^n = b_nx + c_n$ $b_n,c_n$ de números enteros

$$ x ^ {n+1} = (b_n c_n) x + b_n\frac {a-1} {4} $$

So $b_n \equiv 1, 1, 0, 1, 1, 0, \dotsc$ ($\bmod 2$).