Las leyes y los momentos de dos movimientos browniano dimensionales

Question

Estoy un poco oxidado en esto. Entonces, consideremos las siguientes dos dimensiones estándar de movimiento Browniano emitido desde cero definido en la probabilidad de espacio $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ (tenga en cuenta que, en particular, $W^0$ $W^1$ son estocásticamente independientes). Suponemos que $\mathcal{F}= \sigma(W^0,W^1)$. For every $r \en (-1,1)$, definimos el proceso estocástico $$W^r_t = rW_t^1 + \sqrt{1-r^{2}}W_t^0,\;\;t \geq 0.$$ Escribimos $\mathcal{F}= \sigma(W_u^0, W_u^1: u \leq t)\vee\mathcal{N}$ donde $\mathcal{N}$ $\mathbb{P}-$null conjuntos de $\mathcal{F}$.

Ahora, me gustaría describir la ley del proceso $W^r = \lbrace W_t^r: t \geq 0 \rbrace?$ ¿Qué es la ley de las dos dimensiones del proceso de $$\lbrace W_t^r, W^1_t : t\geq 0 \rbrace ?$$ Y por último quiero calcular explícitamente las siguientes cantidades: $$\mathbb{E}\left[(W^1_t W^r_t)^2\right],\;\;\mathbb{E}\left[(W^1_t W^r_t)^3\right],\;\;\mathbb{E}\left[(W^1_t W^r_t)^4\right]$$

Ahora creo que la extraño todos los momentos se desvanecen debido a las propiedades de independiente browniano movimientos. Alguna sugerencia?

Answer 1

Es suficiente para determinar el finito-dimensional de las distribuciones del proceso $\{(W_t^r,W_t^1)\}_{t\geqslant 0}$. El uso de mutua independencia y la independencia de los incrementos, es suficiente para deducir la distribución de $(W_t^r,W_t^1)$ fijos $t$. Tenemos en distribución $(W_t^r,W_t^1)=t(W_1^r,W_1^1)$, por lo que el problema se reduce a encontrar la distribución de $(rX+\sqrt{1-r^2}Y, X)$ $X$ $Y$ independiente estándar de la variable aleatoria Gaussiana.

Puesto que ahora la distribución de $(X,Y)$, podemos escribir para $\phi\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ medibles y acotados $$\mathbb E[\phi(rX+\sqrt{1-r^2}Y, X)]=\frac 1{\pi}\iint_{\mathbb R^2}\phi(rx+\sqrt{1-r^2}y,x)\exp(-(x^2+y^2)/2)\mathrm dx\mathrm dy.$$ Para una fija $x$, el uso de la sustitución de $t:=rx+\sqrt{1-r^2}y$ con el fin de obtener una densidad.