Evaluar

Question

Yo entiendo que cuando la evaluación de

$$ \int_{-1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm dx = \ln 2$$

Es muy sencillo de integración, entiendo. Estoy más centrado en la teoría detrás de si existe. Yo tenía una pregunta de Larson, Edward de Cálculo del 9 de edición que fue una verdadera o falsa relativa a este el día de hoy.

En un sentido, pensé que tenía que ser $\ln 2$. Pero, al mirar de nuevo, técnicamente el área de$-1$$0$, e $0$ $1$son negativos infinito y el infinito, respectivamente. Deben cancelar y nuestro original integral de $-1$ $2$es igual a la integral de la $1$$2$. Sin embargo, técnicamente, la integral no converge a partir de esos dos extremos. Las áreas de $-1$ $0$ $0$ % # % son sólo infinitesimalmente cerca, ya que tanto el enfoque de cero de un lado.

Yo estaba buscando a sus chicos' de entrada aquí. Me debatía mí la mayoría de los de hoy en día a través de este a la perfección simple pregunta de verdadero/falso.

Nota: este es un Calc 1 clase, pero supongo que me estoy haciendo ideas de Calc 2 en adelante (me he auto-estudiado un poco) se combinan con el conocimiento que hemos aprendido hasta ahora.

Answer 1

Lo que está consiguiendo es conocido como el Valor a Principal de Cauchy para esta Integral impropia. Es en realidad $$ \begin{align} \lim_{\epsilon\to0^+}\left(\int_{-1}^{-\epsilon}\frac{1}{x}\mathrm{d}x+\int_{\epsilon}^{2}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\right) &=\lim_{\epsilon\to0^+}\left([\log(\epsilon)-\log(1)]+[\log(2)-\log(\epsilon)]\vphantom{\int}\right)\\ &=\lim_{\epsilon\to0^+}\left(\log(2)-\log(1)\vphantom{\int}\right)\\ &=\log(2) \end {Alinee el} $$

Answer 2

Sólo un pequeño comentario aquí, por lo general en introductorios de cálculo clases, cuando consideramos que una integral de la forma $$ \int_a^b f(x) dx$$ where $f(x)$ is discontinuous at the point $c$ but is otherwise continuous on the interval $[a,b]$, then we say that the integral exists if and only if both the improper integrals $\int_a^c f(x) dx$ and $\int_c^b f(x) dx$ existir y, a continuación, podemos definir $$\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^bf(x)dx$$

Como ya se ha observado, en su caso, con $f(x) = 1/x$, $a = -1$, $c = 0$, $b = 2$, ninguno de los impropias integrales $\int_{-1}^0\frac{1}{x} dx$ o $\int_0^2 \frac{1}{x} dx$ se definen como sus valores serían "infinito". Así que por la costumbre de Cálculo definición, la integral que usted está considerando no existe!

Yo sugeriría que esto es una buena manera de pensar acerca de esta situación. En particular, el Teorema Fundamental del Cálculo no se aplica desde $f(x)$ tiene una asíntota vertical (generalmente de la FTC es sólo resultó para cualquiera de las funciones continuas o funciones que tiene sólo un número finito de discontinuidades de salto). Por lo tanto, su cálculo inicial mediante la FTC es incorrecta.