Sea $P_1,P_2,P_3$ polígonos cerrados en el plano. Supongo que para cualquier % puntos $A\in P_1$(es decir $A$ puede ser dentro o sobre el boudary de $P_1$), $B\in P_2,C\in P_3$, tenemos $[ABC]\leq 1$. ¿Es posible que dos de $P_1,P_2,P_3$ $\geq 4$ de la zona? ¿Los tres tener área $\geq 4$?
Aquí, $[X]$ denota el área del polígono $X$.
[Fuente: problema de competencia Húngaro]
El siguiente es un argumento que dos polígonos pueden tener área de 4. Vamos a trabajar con círculos y al final reemplazarlos por muchos lados de los polígonos.
Vamos a C1 y C2 ser círculos con centro en el origen tanto de radio r y C3, un círculo también en el origen de radio s para s<=r. Escoge Un C3, B, C1 y C en la C2 de modo que el triángulo tiene el área más grande con estas condiciones impuestas. Por simetría podemos elegir Un a tiene coordenadas (0,-s), B tiene coordenadas (r cos x, r sen x) y C tiene coordenadas (- r cos x, r sen x) para algún x de ángulo entre 0 y pi/2.
Vamos q = s/r.A continuación, sencilla los cálculos muestran que el área del triángulo ABC es r^2 (q + sen x) cos x. Con el fin de tener el máximo de área de su derivada con respecto a x es 0. Esto da la ecuación:
cos^2 x = p sen x + cos x sen x.
Queremos que el área del triángulo ABC 1, por lo que
1 = r^2 (q + sen x) cos x.
Podemos ahora preguntarnos si existe una solución para estas dos ecuaciones donde pi r^2 = 4. La eliminación de r y q a partir de ahora estas tres ecuaciones, obtenemos la ecuación:
pi/4 = (cos^2 x / sen x – cos x + sen x ) cos x.
La expresión de la derecha es infinito en x=0 y 0 a 0 en x = pi/2, de modo que por la continuidad que tiene una solución.
Excel me dice que cuando x es > .45 radianes aproximadamente, luego p es menor que 1 y cuando x es > .5 radianes aproximadamente la expresión de la derecha de arriba es de aproximadamente pi/4. Así que hay una solución para x de aproximadamente .5 radianes.
Ahora reemplace los círculos por los polígonos con muchos lados, aproximándose a ellos para llegar a la conclusión final.
Sospecho que no hay ninguna solución para los tres polígonos, pero no saben cómo proceder.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
