¿Por qué basta con comprobar la ecuación geodésica de orden principal?

Question

Estoy leyendo El libro de Taubes sobre geometría diferencial y me pregunto por una prueba. Mis disculpas si esto es simple, ya que todavía estoy lidiando con el material. Mi pregunta se refiere al material del capítulo 8, página 83.

Incrustar $S^n$ en $\mathbb R^{n+1}$ como el conjunto de puntos con $|x|=1$ . Tirando hacia atrás de la métrica estándar en $\mathbb R$ da una métrica sobre $S^n$ llamada métrica redonda. Taubes afirma la ecuación geodésica para una curva $\gamma: \mathbb R \rightarrow S^n \subset\mathbb R^{n+1}$ con coordenadas $(x^i(t))$ viene dada por $$\ddot x^j + x^j|\dot x|^2=0.$$

Para demostrarlo, introduce el mapa $y\rightarrow (y, (1-|y|^2)^{1/2})$ de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^n \times \mathbb R$ que incrusta la bola de radio $1$ en $S^n$ . Si se retira la métrica redonda se obtiene $$g_{ij} = \delta_{ij} + y_i y_j(1-|y|^2)^{-1}.$$ (Esta expresión corrige una errata encontrada en el libro y señalada aquí. )

Expandiendo en una serie de potencias y escribiendo la ecuación geodésica se obtiene $$\ddot y+y_j|\dot y|^2 +O(|y|^2)=0.$$

Taubes afirma que, como esto coincide con la ecuación original de orden principal en $y$ La reclamación está probada. ¿Por qué? Es decir, ¿por qué basta con comprobar que las ecuaciones coinciden en el orden principal? Su justificación, que no entiendo, es:

Esto concuerda con lo que se ha escrito más arriba en orden principal en y. Como la métrica y la esfera son invariantes bajo rotaciones de $S^n$ al igual que la ecuación de $x$ anterior, esto verifica la ecuación en todos los puntos.

Es de suponer que la segunda frase sólo se refiere a la cara que, por simetría, basta con verificar la ecuación para el parche de coordenadas dado, pero quizá haya algo más que se me escapa.

También estoy confundido porque la ecuación en $y$ está en $\mathbb R^n$ pero la ecuación en $x$ está en $\mathbb R^{n+1}$ . ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Francamente, no entiendo este tipo de argumentos, me parecen sacados de un tratado del siglo XIX. Creo que en este caso lo mejor es el enfoque estúpido pero directo, y no es realmente difícil.

Suponiendo que la ecuación geodésica es $\ddot x ^i (t) + \sum \limits _{j, k}\Gamma ^i _{jk} \dot x ^j (t) \dot x ^k (t) = 0$ y que $\Gamma ^i _{jk} = \frac 1 2 \sum \limits _a g^{ia} ( g_{aj, k} + g_{ak,j} - g_{jk,a} )$ (la coma significa "derivada covariante", que para las funciones es exactamente la derivada parcial en coordenadas locales), entonces lo primero que habría que hacer es calcular $g_{ab,c} = \frac {\partial g_ {ab}} {\partial y_c} = \partial _c \space g_{ab} $ . Esto da

$$\partial _c g_{ab} = \frac {(\delta _{ac} y_b + \delta_{bc} y_a) (1-|y|^2) + 2 y_a y_b y_c} {(1-|y|^2)^2}$$

para que

$$g_{aj, k} + g_{ak,j} - g_{jk,a} = 2 \frac {y_a} {1-|y|^2} g_{jk} .$$

Ahora, calculemos la matriz inversa de $(g_{ij}) _{i,j}$ . Los siguientes cálculos se harán formalmente, ignorando los problemas de convergencia, ya que al final los resultados resultarán válidos. Si dejamos que $M = \Big( \frac {y_i y_j} {1-|y|^2} \Big) _{i,j}$ , entonces debemos invertir $I + M$ cuya inversa formal es $\sum \limits _{p \ge 0} (-1)^p M^p$ . Tenga en cuenta que $M^2 = \frac {|y|^2} {1-|y|^2} M$ para que $M^p = \Big( \frac {|y|^2} {(1-|y|^2)} \Big) ^{p-1} M$ para $p \ge 1$ . Entonces, nuestra inversa formal se convierte en $I + \sum \limits _{p \ge 1} (-1)^p \Big( \frac {|y|^2} {(1-|y|^2)} \Big) ^{p-1} M = I - (1-|y|^2) M$ . Sorprendentemente, esta inversa no es sólo una inversa formal, sino una verdadera inversa de la matriz, como se puede comprobar por sí mismo multiplicando con $I+M$ . Por lo tanto, esto da $g^{ia} = \delta ^{ia} - y^i y^a$ .

Introduciendo lo anterior en nuestros cálculos, obtenemos

$$\Gamma ^i _{jk} = \frac 1 2 \sum \limits _a (\delta ^{ia} - y^i y^a) 2 \frac {y_a} {1-|y|^2} g_{jk} = y^i g_{jk} (y) ,$$

por lo que la ecuación de la geodésica se convierte en

$$0 = \ddot x ^i (t) + \sum \limits _{j, k} x ^i (t) g_{jk} \big( x(t) \big) \dot x ^j (t) \dot x ^k (t) = \ddot x ^i (t) + | \dot x (t) |^2 x ^i (t) .$$

Una última nota: las coordenadas $x^i (t)$ de $x(t)$ son coordenadas en $S^n$ , no en $\Bbb R ^{n+1}$ ¡! Quiero decir, $x^i (t) = y^i (x(t))$ donde $(y^1, \dots , y^n)$ son coordenadas locales en $S^n$ .

PD: La razón por la que la inversa formal calculada anteriormente resulta ser una inversa matricial válida es esencialmente la siguiente: la expresión de $(I + M)^{-1}$ es una función analítica de $y^1, \dots, y^n$ ; es cierto que su serie de Taylor en torno a $0$ es convergente sólo en alguna bola alrededor de $0$ pero su expresión de forma cerrada sigue siendo válida en un dominio mayor.

Answer 2

La ecuación geodésica es, en términos generales, de la forma $\ddot y+f(y)\dot y\dot y=0$ . En particular, todos los términos contienen derivadas de $y$ . Por este conocimiento estructural, sabemos que si tenemos una ecuación geodésica $\ddot y_j+y_j|\dot y|^2+O(|y|^2)=0$ donde el $O(|y|^2)$ término no contiene $\dot y$ o $\ddot y$ entonces el $O(|y|^2)$ debe desaparecer realmente. Por supuesto, esto podría concluirse haciendo el cálculo en detalle, pero no es necesario; en este caso sabemos que el resto de los términos tienen que sumar cero. Por supuesto, es una buena comprobación de los cálculos para ver que realmente se obtiene el cero.

Si sólo tuvieras dos EDOs así, no podrías concluir que tienen las mismas soluciones. El argumento de que basta con tirar todo sin derivadas funciona con las geodésicas porque tienen una ecuación especial. Me parece raro que ese argumento no se explique cuando se utiliza en un libro.

Otro problema es que $x$ tiene $n+1$ coordenadas y $y$ tiene $n$ . El $x$ -Las coordenadas están limitadas por $|x|^2=1$ y el $y$ -Las coordenadas son libres, por lo que ambas tienen $n$ dimensiones a disposición. Podemos suponer que estamos trabajando en un parche donde $x^{n+1}>0$ Por lo tanto, nuestro objetivo es identificar $x^j=y^j$ . Estos satisfacen la misma ecuación observada. Lo que queda por comprobar es que $|x|$ sigue siendo 1, utilizando la ecuación de $x$ .