¿Qué es la tapa universal $S_g$?

Question

Indicar $S_g$ para ser orientable superficie cerrada compacta con género $g$; especialmente, $g=1$, $S_1$ es sólo el toro, tiene la funda universal $\mathbb{R}^2$.

Escuché la cubierta universal para $S_2$ es el plano medio superior $\mathbb{H}^2=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|y>0\}$, ¿cómo demostrarlo? ¿Y lo que es la tapa universal $S_g$ $g>2$?

Answer 1

1) cualquier variedad admite una cobertura universal y la dimensión es el mismo; 2) las superficies simplemente conectadas sólo dos son el plano y la esfera.

Si nos fijamos en la superficie compacta de género $2$ como una variedad compleja, entonces hay el famoso teorema de uniformización que afirma que sólo hay 3 diferentes simplemente conectado variedad compleja de dimensión 1: el plano, la esfera y el plano medio.